Дано:
Угол A, состоящий из двух лучей: OA и OB. Пусть точка P находится на плоскости, равноудаленная от сторон угла A.
Найти:
Показать, что точка P лежит на биссектрисе угла A и её продолжении.
Решение:
1. Обозначим расстояние от точки P до стороны OA как d1, а расстояние до стороны OB как d2.
2. Условие равноудаленности означает, что d1 = d2.
3. Расстояние от точки P до прямой можно вычислить по формуле:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),
где Ax + By + C = 0 – уравнение прямой.
4. Пусть уравнение прямой OA будет A1x + B1y + C1 = 0, а уравнение OB – A2x + B2y + C2 = 0.
5. Тогда расстояния будут:
d1 = |A1*px + B1*py + C1| / sqrt(A1^2 + B1^2),
d2 = |A2*px + B2*py + C2| / sqrt(A2^2 + B2^2).
6. Поскольку d1 = d2, то можем записать:
|A1*px + B1*py + C1| / sqrt(A1^2 + B1^2) = |A2*px + B2*py + C2| / sqrt(A2^2 + B2^2).
7. Уберем знаменатели, умножив обе стороны на sqrt(A1^2 + B1^2) * sqrt(A2^2 + B2^2):
|A1*px + B1*py + C1| * sqrt(A2^2 + B2^2) = |A2*px + B2*py + C2| * sqrt(A1^2 + B1^2).
8. Это уравнение описывает геометрическое место точек P, для которых расстояния до сторон угла равны.
9. Биссектрисой угла A называется прямая, которая делит угол на два равных угла. Она всегда равнаудалена от обоих лучей.
10. Следовательно, все точки, которые находятся на биссектрисе угла A, будут равноудалены от его сторон.
11. Кроме того, продолжая биссектрису в обе стороны, можно увидеть, что все точки, находящиеся на этой прямой (и её продолжении), также сохраняют равенство расстояний.
Ответ:
Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла A, является биссектрисы угла A и её продолжение.