Дано:
Пусть A(x1, y1) и B(x2, y2) – две точки на плоскости.
Найти:
Геометрическое место точек M, равнодалёких от точек A и B.
Решение:
1. Рассмотрим точку M(x, y), которая равнодалека от точек A и B. Это значит, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B.
2. Запишем условие равенства расстояний:
|MA| = |MB|
где |MA| = √((x - x1)² + (y - y1)²) и |MB| = √((x - x2)² + (y - y2)²).
3. Подставим выражения для расстояний в уравнение:
√((x - x1)² + (y - y1)²) = √((x - x2)² + (y - y2)²)
4. Квадратируем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от корней:
(x - x1)² + (y - y1)² = (x - x2)² + (y - y2)²
5. Раскроем скобки:
(x² - 2xx1 + x1² + y² - 2yy1 + y1²) = (x² - 2xx2 + x2² + y² - 2yy2 + y2²)
6. Упрощаем уравнение, сократив одинаковые члены:
-2xx1 - 2yy1 + x1² + y1² = -2xx2 - 2yy2 + x2² + y2²
7. Переносим все члены в одну сторону:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) + (x1² + y1² - x2² - y2²) = 0
8. Упрощаем выражение:
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) = (x2² + y2² - x1² - y1²) / 2
9. Теперь обозначим:
mx = (x1 + x2) / 2
my = (y1 + y2) / 2
10. Введём переменные для половинного расстояния между A и B:
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1
11. Уравнение можно представить в виде:
x * dx + y * dy = c, где c – постоянная, зависящая от координат A и B.
12. Уравнение x * dx + y * dy = c – это уравнение прямой, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину M(mx, my).
13. Таким образом, геометрическое место точек, равнодалёких до точек A и B, является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Ответ:
Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух точек A и B, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.