Дано:
Отрезок AB с концами A(x1, y1) и B(x2, y2).
Найти:
Геометрическое место точек M, для которых AM < BM.
Решение:
1. Определим расстояния:
AM = sqrt((xm - x1)² + (ym - y1)²)
BM = sqrt((xm - x2)² + (ym - y2)²)
где M(xm, ym) - произвольная точка.
2. Условие задачи записывается как:
AM < BM
Подставим формулы расстояний:
sqrt((xm - x1)² + (ym - y1)²) < sqrt((xm - x2)² + (ym - y2)²)
3. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат (при этом знак неравенства сохраняется, так как обе стороны положительны):
(xm - x1)² + (ym - y1)² < (xm - x2)² + (ym - y2)²
4. Раскроем скобки:
(xm² - 2xm*x1 + x1² + ym² - 2ym*y1 + y1²) < (xm² - 2xm*x2 + x2² + ym² - 2ym*y2 + y2²)
5. Упростим неравенство, убрав одинаковые слагаемые (xm² и ym²):
-2xm*x1 + x1² - 2ym*y1 + y1² < -2xm*x2 + x2² - 2ym*y2 + y2²
6. Переносим все слагаемые в одну сторону:
2xm*(x2 - x1) + 2ym*(y2 - y1) < x2² - x1² + y2² - y1²
7. Поделим на 2:
xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) < (x2² - x1² + y2² - y1²) / 2
8. Обозначим d = (x2² - x1² + y2² - y1²) / 2, тогда получаем:
xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) < d
9. Прямая, заданная уравнением:
xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) = d
является границей, а неравенство определяет полуплоскость, находящуюся под этой прямой.
Ответ:
Геометрическим местом точек M, для которых AM < BM, является полуплоскость, ограниченная прямой, заданной уравнением xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) = d.