Дан отрезок АВ. Докажите, что геометрическим местом точек М, для которых AM < ВМ, является полуплоскость.
от

1 Ответ

Дано:
Отрезок AB с концами A(x1, y1) и B(x2, y2).

Найти:
Геометрическое место точек M, для которых AM < BM.

Решение:
1. Определим расстояния:

AM = sqrt((xm - x1)² + (ym - y1)²)

BM = sqrt((xm - x2)² + (ym - y2)²)

где M(xm, ym) - произвольная точка.

2. Условие задачи записывается как:

AM < BM

Подставим формулы расстояний:

sqrt((xm - x1)² + (ym - y1)²) < sqrt((xm - x2)² + (ym - y2)²)

3. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат (при этом знак неравенства сохраняется, так как обе стороны положительны):

(xm - x1)² + (ym - y1)² < (xm - x2)² + (ym - y2)²

4. Раскроем скобки:

(xm² - 2xm*x1 + x1² + ym² - 2ym*y1 + y1²) < (xm² - 2xm*x2 + x2² + ym² - 2ym*y2 + y2²)

5. Упростим неравенство, убрав одинаковые слагаемые (xm² и ym²):

-2xm*x1 + x1² - 2ym*y1 + y1² < -2xm*x2 + x2² - 2ym*y2 + y2²

6. Переносим все слагаемые в одну сторону:

2xm*(x2 - x1) + 2ym*(y2 - y1) < x2² - x1² + y2² - y1²

7. Поделим на 2:

xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) < (x2² - x1² + y2² - y1²) / 2

8. Обозначим d = (x2² - x1² + y2² - y1²) / 2, тогда получаем:

xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) < d

9. Прямая, заданная уравнением:

xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) = d

является границей, а неравенство определяет полуплоскость, находящуюся под этой прямой.

Ответ:
Геометрическим местом точек M, для которых AM < BM, является полуплоскость, ограниченная прямой, заданной уравнением xm*(x2 - x1) + ym*(y2 - y1) = d.
от