Дано:
Две точки A и B в пространстве, имеющие координаты A(x1, y1) и B(x2, y2).
Найти:
Геометрическое место точек P, из которых отрезок AB виден под углом 90°.
Решение:
1. Условие задачи говорит о том, что угол APB равен 90°. Это значит, что точки A, P и B образуют прямой угол.
2. Используем свойство, что угол между двумя отрезками (AP и PB) равен 90°, если вектор AP перпендикулярен вектору PB.
3. Вектор AP можно записать как:
AP = (xp - x1, yp - y1),
а вектор PB как:
PB = (xp - x2, yp - y2).
4. Для того чтобы векторы AP и PB были перпендикулярны, должно выполняться условие:
AP • PB = 0,
где "•" обозначает скалярное произведение. То есть:
(xp - x1)(xp - x2) + (yp - y1)(yp - y2) = 0.
5. Раскроем скобки:
xp^2 - xp*x2 - xp*x1 + x1*x2 + yp^2 - yp*y2 - yp*y1 + y1*y2 = 0.
6. Перепишем уравнение:
xp^2 + yp^2 - (x1 + x2)xp - (y1 + y2)yp + (x1*x2 + y1*y2) = 0.
7. Это уравнение описывает геометрическое место точек P, которое является окружностью. Чтобы найти центр и радиус окружности, необходимо привести уравнение к стандартному виду.
8. Для этого сгруппируем по xp и yp:
(xp^2 - (x1 + x2)xp) + (yp^2 - (y1 + y2)yp) + (x1*x2 + y1*y2) = 0.
9. Теперь найдем центр окружности. Центр будет иметь координаты:
C = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
10. Радиус окружности можно найти, используя расстояние от центра до точки A или B:
R = sqrt((x1 - Cx)^2 + (y1 - Cy)^2).
11. Таким образом, у нас есть уравнение окружности, которое описывает геометрическое место точек P:
(xp - (x1 + x2)/2)^2 + (yp - (y1 + y2)/2)^2 = R^2.
Ответ:
Геометрическое место точек P, из которых отрезок AB виден под углом 90°, представляет собой окружность, центр которой находится в точке ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) и радиус равен расстоянию от центра до одной из точек A или B.