Дано: правильный 1000-угольник.
Найти: существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов.
Решение:
1. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:
S = (n - 2) * 180°, где n - количество сторон.
2. Подставим значение n = 1000:
S = (1000 - 2) * 180,
S = 998 * 180,
S = 179640°.
3. Если обозначить каждый из углов как x, то для выпуклого многоугольника:
x < 180°.
4. Углы в многоугольнике должны быть равны:
1000x = 179640,
x = 179640 / 1000,
x = 179.64°.
5. Поскольку 179.64 не является целым числом, это означает, что невозможно равномерно распределить углы так, чтобы все они были целыми числами.
Ответ: Выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов, не существует.