Дано:
Треугольник ABC, медиана AD. Точка E на медиане такова, что AE = ED, BE = BD.
Найти:
Доказать, что АК = ЕК, где K – точка пересечения прямой CE и стороны AB.
Решение:
1. Поскольку D — середина стороны BC (по определению медианы), можно записать:
BD = DC.
2. Из условия задачи видно, что BE = BD. Следовательно, BE = DC.
3. Теперь мы можем заключить, что точки B, E и D находятся на одной прямой, и отрезки BE и ED равны.
4. Рассмотрим треугольники ABE и ADE. У них есть общая сторона AE, и по условию BE = ED и AE = ED следовательно:
треугольник ABE ≅ треугольнику ADE (по признаку равенства треугольников).
5. Так как треугольники ABE и ADE равны, то их соответствующие стороны будут также равны:
AB = AD.
6. Теперь рассмотрим треугольники CED и CEB. По аналогии с предыдущими треугольниками, у нас есть:
CE = CD.
7. Также поскольку BE = BD и BE = ED, мы можем сказать, что DE = EB = ED.
8. Таким образом, можно заключить, что точки A, K, E лежат на одной прямой, и отрезки AK и EK равны, так как они являются частями концов равных отрезков.
9. С учетом вышеизложенного можно написать равенство:
AK = EK.
Ответ:
Таким образом, доказано, что AK = EK.