Дано:
Равносторонний треугольник ABC со стороной a. На сторонах AB, BC и CA отмечены точки M, N, P и Q такие, что MA + AN = a и PC + CQ = a.
Найти:
Величину угла NOQ.
Решение:
1. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Углы в этом треугольнике равны 60°.
2. Обозначим длину отрезков:
- MA = x
- AN = a - x
- PC = y
- CQ = a - y
3. Из условия задачи имеем:
MA + AN = x + (a - x) = a (все верно).
PC + CQ = y + (a - y) = a (все верно).
4. Теперь рассмотрим угол NOQ. Он находится между линиями ON и OQ.
5. Поскольку треугольник ABC равносторонний, мы можем заметить, что углы в точках A, B и C также равны 60°.
6. Угол NOA равен 30°, так как NO делит угол A пополам (это свойство медиан в равностороннем треугольнике).
7. Аналогично, угол POQ также равен 30°.
8. Таким образом, угол NOQ равен сумме углов NOA и AOQ:
угол NOQ = угол NOA + угол AOQ = 30° + 30° = 60°.
Ответ:
Величина угла NOQ равна 60°.