Question

На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника ABC отмечены точки К, М и N так, что ∠MKB = ∠MNC и ∠KMB = ∠KNA. Докажите, что луч NB — биссектриса угла KNM (рис. 47).

Answer 1

Дано:
На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки K, M и N,
∠MKB = ∠MNC,
∠KMB = ∠KNA.

Найти:
Доказать, что луч NB является биссектрисой угла KNM.

Решение:
Так как треугольник ABC является равносторонним, то углы при вершинах этого треугольника равны 60 градусам.

Из условий задачи имеем:
∠MKB = ∠MNC,
∠KMB = ∠KNA.

Поскольку ∠KMB = ∠KNA, получаем, что треугольники KMB и KNA подобными. Аналогично, из ∠MKB = ∠MNC следует, что треугольники MKB и MNC подобными.

Из подобия треугольников можно найти соотношение сторон KM/KN = KB/KA = MB/NA.

Теперь рассмотрим треугольник KNM. Из найденного соотношения сторон следует, что угол MBK равен углу ANK.

Так как углы MBK и ANK смежные по прямой KN, а также равны (из подобия треугольников), то можно сделать вывод, что луч NB является биссектрисой угла KNM.

Ответ:
Луч NB является биссектрисой угла KNM.