Question

Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправился катер. Дойдя до пункта В, он мгновенно развернулся и направился в пункт А. Скорость течения реки 3 км/ч. Определите среднюю скорость катера за все время движения, если известно, что на путь из А в В катер затратил в 2 раза меньше времени, чем на обратный путь. Скорость катера относительно воды не изменяется.

Answer 1

Дано:  
- скорость течения реки Vт = 3 км/ч  
- скорость катера относительно воды Vк (неизвестно)  
- время на путь из А в В t1  
- время на путь из В в А t2 = 2 * t1  

Найти:  
- средняя скорость катера за все время движения Vср

Решение:

1. Обозначим расстояние от А до В как S (в км).  
   Тогда время, затраченное на путь из А в В, можно выразить как:
   t1 = S / (Vк + Vт)  
   Подставим Vт и получим:
   t1 = S / (Vк + 3)

2. Время на путь обратно из В в А:
   t2 = S / (Vк - Vт) = S / (Vк - 3)

3. Из условия задачи знаем, что:
   t2 = 2 * t1  
   Следовательно:
   S / (Vк - 3) = 2 * (S / (Vк + 3))

4. Упростим уравнение:
   S / (Vк - 3) = 2S / (Vк + 3)  

5. Убираем S (при условии, что S ≠ 0):
   1 / (Vк - 3) = 2 / (Vк + 3)

6. Перепишем уравнение:
   (Vк + 3) = 2(Vк - 3)

7. Раскроем скобки:
   Vк + 3 = 2Vк - 6

8. Переносим все Vк в одну сторону:
   3 + 6 = 2Vк - Vк

9. Получаем:
   9 = Vк

10. Теперь мы знаем скорость катера относительно воды: Vк = 9 км/ч.

11. Найдем время t1 и t2:
    t1 = S / (9 + 3) = S / 12  
    t2 = 2 * t1 = 2 * (S / 12) = S / 6

12. Общее время t = t1 + t2:
    t = S / 12 + S / 6  

13. Приведем к общему знаменателю:
    t = S / 12 + 2S / 12 = 3S / 12 = S / 4

14. Средняя скорость Vср:
    Vср = общее расстояние / общее время = 2S / (S / 4) = 2S * (4 / S) = 8 км/ч

Ответ:  
Средняя скорость катера за все время движения составляет 8 км/ч.