Пешеход треть всего пути бежал со скоростью 9 км/ч, треть всего времени шел со скоростью 4 км/ч, а оставшуюся часть пути - со скоростью, равной средней скорости на всем пути. Найдите среднюю скорость.
от

1 Ответ

Дано:  
- Весь путь S.  
- Первая часть пути (1/3) пройдена со скоростью V1 = 9 км/ч.  
- Время, затраченное на 1/3 пути, составляет T1.  
- Вторая часть пути (1/3) пройдена со скоростью V2 = 4 км/ч.  
- Время, затраченное на 2/3 пути, составляет T2.  
- Оставшаяся часть пути (1/3) пройдена со средней скоростью Vср.  

Найти:  
Среднюю скорость Vср на всем пути.

Решение:

1. Обозначим весь путь S. Тогда:
   - Первая часть пути S1 = S / 3.
   - Вторая часть пути S2 = S / 3.
   - Третья часть пути S3 = S / 3.

2. Найдем время, затраченное на каждую часть пути:
   - Время на первую часть:
     T1 = S1 / V1 = (S / 3) / 9 = S / 27.
   - Время на вторую часть:
     T2 = S2 / V2 = (S / 3) / 4 = S / 12.
   - Время на третью часть:
     Обозначим Vср как среднюю скорость за весь путь.

3. Общее время T:
   T = T1 + T2 + T3 = (S / 27) + (S / 12) + (S / (3Vср)).

4. Теперь найдем общее расстояние S в зависимости от времени:
   Vср = S / T,
   где T = (S / 27) + (S / 12) + (S / (3Vср)).

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 27 и 12 равен 108:
   - T1 = (S / 27) = 4S / 108,
   - T2 = (S / 12) = 9S / 108.

6. Таким образом, общее время T можно записать:
   T = (4S / 108) + (9S / 108) + (S / (3Vср)).
   T = (13S / 108) + (S / (3Vср)).

7. Подставим это в формулу для средней скорости:
   Vср = S / T = S / [(13S / 108) + (S / (3Vср))].

8. Упростим уравнение:
   Умножим обе стороны на T:
   Vср * T = S.

   Таким образом, получаем:
   Vср * [(13S / 108) + (S / (3Vср))] = S.

   Умножим обе части на 108Vср:
   108Vср^2 + 36S = 108S.

9. Переносим все на одну сторону:
   108Vср^2 - 72S = 0.

10. Найдем Vср:
    Vср^2 = (72 / 108) * S = (2/3)S.

11. Решаем уравнение:
    Vср = sqrt((2/3)S).

Из условий задачи известно, что S не определено, но средняя скорость будет постоянной, поэтому нам достаточно найти ее значение.

12. Для простоты возьмем S = 1 (условная единица):
    Vср = sqrt((2/3)).

Теперь вычислим:
    Vср ≈ 0.816 км/ч.

Ответ:  
Средняя скорость на всем пути составляет примерно 0.816 км/ч.
от