Камень падает в шахту. Через 6 с слышен стук камня о дно шахты. Определите глубину шахты, если скорость звука составляет 300 м/с.
от

1 Ответ

дано:  
t_total = 6 с (общее время от момента падения до появления звука).  
g = 9,81 м/с² (ускорение свободного падения).  
v_sound = 300 м/с (скорость звука).

найти:  
глубину шахты h.

решение:  
1. Обозначим:
   t_fall — время, за которое камень падает в шахту,  
   t_sound — время, за которое звук проходит вверх по шахте.  

2. Мы знаем, что общее время равно сумме времени падения камня и времени прохождения звука:

t_total = t_fall + t_sound.

3. Сначала найдем время, за которое звук проходит от дна шахты до поверхности:

t_sound = h / v_sound.

4. Теперь выразим h через t_fall:

h = (g * t_fall^2) / 2.  

5. Подставим t_sound в уравнение для общего времени:

t_total = t_fall + h / v_sound.

6. Подставим h в это уравнение:

t_total = t_fall + ((g * t_fall^2) / (2 * v_sound)) / v_sound.

7. Упростим уравнение:

t_total = t_fall + (g * t_fall^2) / (2 * v_sound^2).

8. Подставим известные значения g и v_sound:

t_total = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / (2 * 300^2).

9. Теперь подставим t_total = 6 с:

6 = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / (2 * 90000).

10. Упростим выражение:

6 = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / 180000.

11. Переносим t_fall в левую часть уравнения:

0 = (9,81 * t_fall^2) / 180000 + t_fall - 6.

12. Умножим все на 180000 для устранения дроби:

0 = 9,81 * t_fall^2 + 180000 * t_fall - 1080000.

13. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,
где a = 9,81, b = 180000, c = -1080000.

D = (180000)^2 - 4 * 9,81 * (-1080000).

14. Посчитаем D:

D = 32400000000 + 423336000 = 32404233600.

15. Найдем корни уравнения:

t_fall = (-b ± sqrt(D)) / (2*a).

16. Подставим значения:

t_fall = (-180000 ± sqrt(32404233600)) / (2 * 9,81).

17. Найдем значение корня:

sqrt(32404233600) ≈ 180000.

18. Тогда:

t_fall = (180000 - 180000) / (2 * 9,81) или t_fall = (180000 + 180000) / (2 * 9,81).

19. Так как первое значение дает ноль, оставим только положительное:

t_fall = 360000 / 19.62 ≈ 18335.

20. Теперь находим h:

h = (g * t_fall^2) / 2 = (9,81 * (18335)^2) / 2.

21. Посчитаем h:

h ≈ 9,81 * 336192225 / 2 = 1656000000 / 2 ≈ 828000.

ответ:  
Глубина шахты составляет приблизительно 828 метров.
от