дано:
t_total = 6 с (общее время от момента падения до появления звука).
g = 9,81 м/с² (ускорение свободного падения).
v_sound = 300 м/с (скорость звука).
найти:
глубину шахты h.
решение:
1. Обозначим:
t_fall — время, за которое камень падает в шахту,
t_sound — время, за которое звук проходит вверх по шахте.
2. Мы знаем, что общее время равно сумме времени падения камня и времени прохождения звука:
t_total = t_fall + t_sound.
3. Сначала найдем время, за которое звук проходит от дна шахты до поверхности:
t_sound = h / v_sound.
4. Теперь выразим h через t_fall:
h = (g * t_fall^2) / 2.
5. Подставим t_sound в уравнение для общего времени:
t_total = t_fall + h / v_sound.
6. Подставим h в это уравнение:
t_total = t_fall + ((g * t_fall^2) / (2 * v_sound)) / v_sound.
7. Упростим уравнение:
t_total = t_fall + (g * t_fall^2) / (2 * v_sound^2).
8. Подставим известные значения g и v_sound:
t_total = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / (2 * 300^2).
9. Теперь подставим t_total = 6 с:
6 = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / (2 * 90000).
10. Упростим выражение:
6 = t_fall + (9,81 * t_fall^2) / 180000.
11. Переносим t_fall в левую часть уравнения:
0 = (9,81 * t_fall^2) / 180000 + t_fall - 6.
12. Умножим все на 180000 для устранения дроби:
0 = 9,81 * t_fall^2 + 180000 * t_fall - 1080000.
13. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = 9,81, b = 180000, c = -1080000.
D = (180000)^2 - 4 * 9,81 * (-1080000).
14. Посчитаем D:
D = 32400000000 + 423336000 = 32404233600.
15. Найдем корни уравнения:
t_fall = (-b ± sqrt(D)) / (2*a).
16. Подставим значения:
t_fall = (-180000 ± sqrt(32404233600)) / (2 * 9,81).
17. Найдем значение корня:
sqrt(32404233600) ≈ 180000.
18. Тогда:
t_fall = (180000 - 180000) / (2 * 9,81) или t_fall = (180000 + 180000) / (2 * 9,81).
19. Так как первое значение дает ноль, оставим только положительное:
t_fall = 360000 / 19.62 ≈ 18335.
20. Теперь находим h:
h = (g * t_fall^2) / 2 = (9,81 * (18335)^2) / 2.
21. Посчитаем h:
h ≈ 9,81 * 336192225 / 2 = 1656000000 / 2 ≈ 828000.
ответ:
Глубина шахты составляет приблизительно 828 метров.