Дано:
- начальная скорость V = 14 м/с
- координаты цели: x = 10 м, y = 7.5 м
- ускорение свободного падения g = 9.8 м/с².
Найти:
- угол броска α.
Решение:
1. Разобьем начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:
Vx = V * cos(α)
Vy = V * sin(α)
2. Горизонтальное движение:
Поскольку нет горизонтального ускорения, перемещение по оси x можно выразить как:
x = Vx * t
t = x / Vx = 10 / (14 * cos(α))
3. Вертикальное движение:
Для вертикального движения имеем:
y = Vy * t - (1/2)gt²
Подставим выражение для t:
y = V * sin(α) * (10 / (14 * cos(α))) - (1/2)g * (10 / (14 * cos(α)))²
Подставим известные значения:
7.5 = 14 * sin(α) * (10 / (14 * cos(α))) - (1/2) * 9.8 * (10 / (14 * cos(α)))²
Упрощаем:
7.5 = 10 * tan(α) - (0.5 * 9.8 * 100) / (196 * cos²(α))
7.5 = 10 * tan(α) - 490 / (196 * cos²(α))
7.5 = 10 * tan(α) - 2.5 / cos²(α)
4. Воспользуемся обозначением:
tan(α) = sin(α) / cos(α)
Подставляем в уравнение:
7.5 = 10 * (sin(α) / cos(α)) - 2.5 / cos²(α)
5. Умножим всё уравнение на cos²(α):
7.5 * cos²(α) = 10 * sin(α) * cos(α) - 2.5
6. Подставим sin(α) = √(1 - cos²(α)):
7.5 * x² = 10 * √(1 - x²) * x - 2.5, где x = cos(α)
Получаем уравнение относительно x (cos(α)):
7.5x² + 2.5 = 10x√(1 - x²)
7. Квадратируем обе стороны:
(7.5x² + 2.5)² = 100x²(1 - x²)
8. Раскрываем скобки и упрощаем:
56.25x^4 + 37.5x² + 6.25 = 100x² - 100x^4
156.25x^4 - 62.5x² + 6.25 = 0
9. Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:
D = b² - 4ac = (-62.5)² - 4 * 156.25 * 6.25
D = 3906.25 - 3906.25 = 0
Таким образом, у нас есть одно решение:
x² = 62.5 / 156.25 = 0.4
cos(α) = √(0.4) ≈ 0.632
10. Находим sin(α):
sin(α) = √(1 - 0.4) = √(0.6) ≈ 0.775
11. Теперь находим угол α:
α = arcsin(0.775) или α = arccos(0.632)
12. Найдем угол в градусах:
α ≈ 51.5°
Ответ:
Угол броска α ≈ 51.5°.