Дано:
- угол наклона плоскости α = 30°
- угол броска мяча β = 60°
- расстояние до цели L = 10 м
- ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти:
- начальную скорость v0, с которой нужно бросить мяч.
Решение:
1. Разложим начальную скорость v0 на составляющие по направлению к плоскости.
vx0 = v0 * cos(β)
vy0 = v0 * sin(β)
2. Учитывая угол наклона плоскости, найдём вертикальную и горизонтальную составляющие движения:
Угол наклона плоскости α влияет на проекции движений:
- горизонтальная ось (по плоскости): x' = x * cos(α) - y * sin(α)
- вертикальная ось (перпендикулярно плоскости): y' = x * sin(α) + y * cos(α)
Однако нам проще использовать систему координат, где x - вдоль наклонной плоскости, y - перпендикулярно ей.
3. Время полета t можно выразить через перемещение по наклонной плоскости:
L = vx0 * t
Таким образом, t = L / vx0 = L / (v0 * cos(β))
4. На высоту при этом влияет вертикальная составляющая скорости и ускорение свободного падения:
y = vy0 * t - (1/2) * g * t²
5. Подставляем значения для перемещения по вертикали и подставляем выражение для времени:
y = vy0 * (L / (v0 * cos(β))) - (1/2) * g * (L / (v0 * cos(β)))²
6. Подставим y = 0, так как мяч должен вернуться на уровень броска:
0 = (v0 * sin(β)) * (L / (v0 * cos(β))) - (1/2) * g * (L / (v0 * cos(β)))²
7. Упрощаем уравнение:
0 = (L * tan(β)) - (g * L²) / (2 * v0² * cos²(β))
8. Переносим все в одну сторону:
(g * L²) / (2 * v0² * cos²(β)) = L * tan(β)
9. Упрощаем и решаем относительно v0:
v0² = (g * L) / (2 * cos²(β) * tan(β))
10. Подставим известные значения:
g = 9.81 м/с², L = 10 м, β = 60° (tan(60°) = √3, cos(60°) = 0.5)
v0² = (9.81 * 10) / (2 * (0.5)² * √3)
v0² = (98.1) / (0.5 * 0.5 * √3) = 98.1 / (0.25 * √3)
11. Преобразуем:
v0² = 392.4 / √3
12. Получаем значение v0:
v0 = √(392.4 / √3)
Теперь численно:
√3 ≈ 1.732
v0 ≈ √(392.4 / 1.732) ≈ √226.57 ≈ 15.05 м/с
Ответ:
Начальная скорость, с которой необходимо бросить мяч, составляет примерно 15.05 м/с.