Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой (расстояние от центра Земли), соединяющей их центры, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами? Радиус Земли 6400 км.
от

1 Ответ

Дано:  
- Радиус Земли (R_Земли) = 6400 км = 6.4 * 10^6 м  
- Расстояние между центрами Земли и Луны (d) = 60 * R_Земли = 60 * 6400 км = 384000 км = 3.84 * 10^8 м  
- Масса Земли (M_Земли) = M  
- Масса Луны (M_Луны) = M_Земли / 81 = M / 81  

Найти:  
- Расстояние от центра Земли (x), в которой силы притяжения к Земле и Луне равны.  

Решение:  
1. Сила притяжения между Землёй и телом на расстоянии x от центра Земли:  
F_Земли = G * M_Земли * m / x^2,  
где G - гравитационная постоянная (6.674 * 10^-11 Н·м²/кг²), m - масса тела.

2. Сила притяжения между Луной и телом на расстоянии (d - x) от центра Луны:  
F_Луны = G * M_Луны * m / (d - x)^2.

3. Установим равенство сил:  
G * M_Земли * m / x^2 = G * M_Луны * m / (d - x)^2.

4. Упростим уравнение, сократив G и m:  
M_Земли / x^2 = M_Луны / (d - x)^2.

5. Подставим массу Луны:  
M_Земли / x^2 = (M / 81) / (d - x)^2.

6. Упростим:  
M_Земли * (d - x)^2 = (M / 81) * x^2.

7. Подставим значение d = 3.84 * 10^8 м:  
M * (3.84 * 10^8 - x)^2 = (M / 81) * x^2.

8. Упростим уравнение, разделив обе стороны на M:  
(3.84 * 10^8 - x)^2 = (1 / 81) * x^2.

9. Извлечем квадратный корень из обеих сторон:  
3.84 * 10^8 - x = (1 / 9) * x.  

10. Переносим x в одну сторону:  
3.84 * 10^8 = x + (1 / 9) * x = (10 / 9) * x.

11. Решаем для x:  
x = (9 / 10) * (3.84 * 10^8) = 3.456 * 10^8 м.

Ответ:  
Расстояние от центра Земли, в которой тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами, составляет примерно 345600000 м или 345600 км.
от