Дано:
- Радиус Земли (R_Земли) = 6400 км = 6.4 * 10^6 м
- Расстояние между центрами Земли и Луны (d) = 60 * R_Земли = 60 * 6400 км = 384000 км = 3.84 * 10^8 м
- Масса Земли (M_Земли) = M
- Масса Луны (M_Луны) = M_Земли / 81 = M / 81
Найти:
- Расстояние от центра Земли (x), в которой силы притяжения к Земле и Луне равны.
Решение:
1. Сила притяжения между Землёй и телом на расстоянии x от центра Земли:
F_Земли = G * M_Земли * m / x^2,
где G - гравитационная постоянная (6.674 * 10^-11 Н·м²/кг²), m - масса тела.
2. Сила притяжения между Луной и телом на расстоянии (d - x) от центра Луны:
F_Луны = G * M_Луны * m / (d - x)^2.
3. Установим равенство сил:
G * M_Земли * m / x^2 = G * M_Луны * m / (d - x)^2.
4. Упростим уравнение, сократив G и m:
M_Земли / x^2 = M_Луны / (d - x)^2.
5. Подставим массу Луны:
M_Земли / x^2 = (M / 81) / (d - x)^2.
6. Упростим:
M_Земли * (d - x)^2 = (M / 81) * x^2.
7. Подставим значение d = 3.84 * 10^8 м:
M * (3.84 * 10^8 - x)^2 = (M / 81) * x^2.
8. Упростим уравнение, разделив обе стороны на M:
(3.84 * 10^8 - x)^2 = (1 / 81) * x^2.
9. Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
3.84 * 10^8 - x = (1 / 9) * x.
10. Переносим x в одну сторону:
3.84 * 10^8 = x + (1 / 9) * x = (10 / 9) * x.
11. Решаем для x:
x = (9 / 10) * (3.84 * 10^8) = 3.456 * 10^8 м.
Ответ:
Расстояние от центра Земли, в которой тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами, составляет примерно 345600000 м или 345600 км.