Дано:
- Радиус орбиты космического корабля (R_орбиты) = 13000 км = 1.3 * 10^7 м
- Скорость космического корабля (v) = 10 км/с = 10^4 м/с
- Радиус планеты (R_планеты) = 10000 км = 1.0 * 10^7 м
Найти:
- Ускорение свободного падения на поверхности планеты (g).
Решение:
1. Для космического корабля, движущегося по круговой орбите, центростремительное ускорение (a_c) равно ускорению свободного падения (g') на расстоянии R_орбиты от центра планеты. Это выражается формулой:
a_c = v^2 / R_орбиты
2. Подставим известные значения:
a_c = (10^4 м/с)^2 / (1.3 * 10^7 м)
a_c = 10^8 м^2/с^2 / 1.3 * 10^7 м
a_c = 7.692 * 10^0 м/с^2
a_c ≈ 7.69 м/с^2
3. Теперь найдём ускорение свободного падения на поверхности планеты (g). Учитывая, что гравитационное поле планеты пропорционально квадрату радиуса и обратно пропорционально квадрату расстояния от центра планеты, можем выразить g следующим образом:
g = G * M / R_планеты^2
где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты. Однако для нашего случая можно использовать соотношение:
g' = g * (R_планеты / R_орбиты)^2
4. Так как a_c = g', то:
g' = g * (R_планеты / R_орбиты)^2
7.69 м/с^2 = g * (1.0 * 10^7 м / 1.3 * 10^7 м)^2
5. Найдем g:
g = 7.69 м/с^2 * (1.0 / 1.3)^2
g = 7.69 м/с^2 * (1 / 1.69)
g ≈ 7.69 м/с^2 * 0.592
g ≈ 4.55 м/с^2
Ответ:
Ускорение свободного падения на поверхности этой планеты составляет примерно 4.55 м/с^2.