Дано:
- Радиус Земли (R_Земли) = 6400 км = 6.4 * 10^6 м
- Первая космическая скорость на Земле (v_к) = sqrt(G * M_Земли / R_Земли), где G - гравитационная постоянная, M_Земли - масса Земли.
Найти:
- Радиус круговой траектории спутника (R_спутника), для которой скорость спутника (v_спутника) будет вдвое меньше первой космической скорости на Земле.
Решение:
1. Первая космическая скорость на Земле:
v_к = sqrt(G * M_Земли / R_Земли).
2. Скорость спутника:
v_спутника = v_к / 2.
3. Для спутника на круговой орбите скорость выражается как:
v_спутника = sqrt(G * M_Земли / R_спутника).
4. Подставим v_спутника из пункта 2 в уравнение из пункта 3:
v_к / 2 = sqrt(G * M_Земли / R_спутника).
5. Квадратируем обе стороны:
(v_к / 2)^2 = G * M_Земли / R_спутника.
6. Упростим:
v_к^2 / 4 = G * M_Земли / R_спутника.
7. Выразим R_спутника:
R_спутника = (4 * G * M_Земли) / v_к^2.
8. Подставим значение v_к:
v_к^2 = G * M_Земли / R_Земли.
9. Подставим это в уравнение для R_спутника:
R_спутника = (4 * G * M_Земли) / (G * M_Земли / R_Земли) = 4 * R_Земли.
10. Теперь подставим известное значение радиуса Земли:
R_спутника = 4 * 6.4 * 10^6 м = 25.6 * 10^6 м = 25600 км.
Ответ:
Радиус круговой траектории спутника составляет 25600 км.