Дано:
- Угол наклона плоскости (α) = 45°
- Расстояние до вершины (s) = 50 см = 0,5 м
- Коэффициент трения скольжения (μ) = 0,4
- Ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
- Минимальную начальную скорость (u), необходимую для достижения вершины.
Решение:
1. Сначала найдем силу тяжести, действующую на брусок:
Fg = m * g.
2. Разложим силу тяжести на компоненты. Компонента силы, направленная вниз по наклонной плоскости (Fg,п):
Fg,п = Fg * sin(α) = mg * sin(45°).
3. На угле 45°:
sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0,707.
Таким образом:
Fg,п = mg * 0,707.
4. Нормальная сила (N):
N = Fg * cos(α) = mg * cos(45°) = mg * 0,707.
5. Сила трения (Fтр):
Fтр = μN = μ(mg * 0,707) = 0,4 * mg * 0,707 ≈ 0,2828mg.
6. Составим уравнение движения бруска. Чтобы брусок пришел в состояние покоя на вершине, необходимо учитывать, что работа против силы трения и силы тяжести должна быть равна изменению кинетической энергии.
Работа (A) против силы тяжести (Wг) при подъеме на высоту h:
h = s * sin(α) = 0,5 м * 0,707 ≈ 0,3535 м.
Wг = m * g * h = mg * 0,3535.
Работа (A) против силы трения:
Aтр = Fтр * s = 0,2828mg * 0,5.
7. Полная работа против сил:
A = Wг + Aтр = mg * 0,3535 + 0,2828mg * 0,5.
8. Подставим значения:
A = mg * 0,3535 + 0,1414mg = mg * (0,3535 + 0,1414) = mg * 0,4949.
9. Используем закон сохранения энергии. Начальная кинетическая энергия (Kе) бруска при скорости u:
Kе = (1/2) * m * u^2.
10. Тогда:
(1/2) * m * u^2 = mg * 0,4949.
11. Сократим массу m (если m ≠ 0):
(1/2) * u^2 = g * 0,4949.
12. Подставим значение g = 9,81 м/с²:
(1/2) * u^2 = 9,81 * 0,4949.
13. Посчитаем правую часть:
u^2 = 2 * 9,81 * 0,4949 ≈ 9,72.
14. Найдем начальную скорость:
u ≈ √9,72 ≈ 3,12 м/с.
Ответ:
Минимальная начальная скорость, которую необходимо сообщить бруску, составляет примерно 3,12 м/с.