Дано:
- Высота наклонной плоскости (h) = 5 м
- Длина наклонной плоскости (L) = 13 м
- Коэффициент трения (μ) = 0,4
- Ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
- Время движения тела (t) вдоль наклонной плоскости.
Решение:
1. Найдем угол наклона плоскости (α) с помощью соотношения между высотой и длиной наклонной плоскости:
sin(α) = h / L.
Подставляем значения:
sin(α) = 5 / 13.
Для нахождения угла можно использовать арксинус:
α = arcsin(5/13).
2. Теперь найдем компоненты сил, действующих на тело. Вес тела (Fg):
Fg = m * g.
3. Компонента веса, параллельная наклонной плоскости (Fg,п):
Fg,п = Fg * sin(α) = m * g * sin(α).
4. Компонента веса, перпендикулярная наклонной плоскости (Fg,н):
Fg,н = Fg * cos(α) = m * g * cos(α).
Сила нормального давления (N) равна Fg,н:
N = m * g * cos(α).
5. Сила трения (Fтр):
Fтр = μ * N = μ * (m * g * cos(α)) = μ * m * g * cos(α).
6. Сила, действующая на тело (F):
F = Fg,п - Fтр = m * g * sin(α) - μ * m * g * cos(α).
F = m * g * (sin(α) - μ * cos(α)).
7. Ускорение тела (a):
a = F / m = g * (sin(α) - μ * cos(α)).
8. Подставим значение g и найдём ускорение:
a = 9,81 * (sin(α) - 0,4 * cos(α)).
При этом необходимо знать значения sin(α) и cos(α).
Для нахождения этих значений воспользуемся:
sin(α) = 5/13,
cos(α) = sqrt(1 - (5/13)^2) = sqrt(1 - 25/169) = sqrt(144/169) = 12/13.
Теперь подставим в выражение для a:
a = 9,81 * ((5/13) - 0,4 * (12/13)) = 9,81 * ((5 - 4,8) / 13) = 9,81 * (0,2 / 13) ≈ 0,1516 м/с².
9. Теперь найдем время (t), зная начальную скорость (v0 = 0) и расстояние (L = 13 м):
Используем уравнение движения:
L = v0 * t + (1/2) * a * t^2.
Так как начальная скорость равна нулю, остается:
L = (1/2) * a * t^2,
13 = (1/2) * 0,1516 * t^2.
10. Решим это уравнение относительно t:
t^2 = 13 / (0,0758) ≈ 171,77.
t = sqrt(171,77) ≈ 13,09 с.
Ответ:
Время движения тела вдоль наклонной плоскости составляет примерно 13,09 секунд.