Дано:
- угол наклона 30° (тело движется равномерно)
- угол наклона 45°
Найти:
- ускорение a тела при угле наклона 45°.
Решение:
1. Когда тело скользит равномерно по наклонной плоскости, это означает, что силы, действующие на тело, уравновешены. При угле наклона 30° сумма сил параллельно плоскости и сила трения равны нулю.
2. Для случая с углом наклона 30° можно записать уравнение в следующем виде:
F_g_parallel - F_friction = 0
3. Силы в данном случае:
- вес тела: F_g = m * g
- компонент веса вдоль наклонной плоскости: F_g_parallel = F_g * sin(30°) = m * g * 0,5
- нормальная сила: F_n = F_g * cos(30°) = m * g * (sqrt(3)/2)
4. Сила трения:
F_friction = μ * F_n = μ * m * g * (sqrt(3)/2)
5. Поскольку движение равномерное, то при угле наклона 30°:
F_g_parallel = F_friction
Таким образом:
m * g * 0,5 = μ * m * g * (sqrt(3)/2)
6. Из этого уравнения видно, что коэффициент трения μ можно выразить как:
μ = 0,5 / (sqrt(3)/2) = 1/sqrt(3)
7. Теперь рассмотрим случай, когда угол наклона увеличивается до 45°. В этом случае:
F_g_parallel = m * g * sin(45°) = m * g * (sqrt(2)/2)
F_n = m * g * cos(45°) = m * g * (sqrt(2)/2)
8. Сила трения при угле наклона 45°:
F_friction = μ * F_n = (1/sqrt(3)) * (m * g * (sqrt(2)/2))
9. Теперь запишем уравнение для движения тела при угле наклона 45° с учетом ускорения:
F_g_parallel - F_friction = m * a
10. Подставляем значения:
m * g * (sqrt(2)/2) - (1/sqrt(3)) * (m * g * (sqrt(2)/2)) = m * a
11. Упрощаем уравнение:
m * g * (sqrt(2)/2) * (1 - 1/sqrt(3)) = m * a
12. Сокращаем массу m:
g * (sqrt(2)/2) * (1 - 1/sqrt(3)) = a
13. Подставим значение g = 9,81 м/с²:
a = 9,81 * (sqrt(2)/2) * (1 - 1/sqrt(3))
14. Рассчитаем численно:
sqrt(2) ≈ 1,414, и 1/sqrt(3) ≈ 0,577
1 - 0,577 ≈ 0,423
a ≈ 9,81 * 0,707 * 0,423 ≈ 2,932 м/с²
Ответ:
При увеличении угла наклона до 45° тело будет двигаться с ускорением примерно 2,93 м/с².