Дано:
- угол наклона плоскости: 45°
- время спуска в 2 раза больше времени подъема: t_down = 2 * t_up
Найти:
- коэффициент трения μ.
Решение:
1. Обозначим начальную скорость шайбы при подъеме как v_0 и ускорение при движении вверх как a_up, а при спуске как a_down.
2. Когда шайба поднимается, действует сила тяжести и сила трения, которые направлены вниз по наклону. Ускорение будет отрицательным (замедление):
a_up = g * sin(45°) + μ * g * cos(45°)
где g ≈ 9,81 м/с².
3. При спуске шайба ускоряется, так что:
a_down = g * sin(45°) - μ * g * cos(45°).
4. Так как sin(45°) = cos(45°) = sqrt(2)/2, подставим значение:
a_up = g * (sqrt(2)/2) + μ * g * (sqrt(2)/2)
a_down = g * (sqrt(2)/2) - μ * g * (sqrt(2)/2)
5. Из уравнения движения для подъема можно записать:
v_0 = a_up * t_up
Поскольку шайба останавливается, конечная скорость равна 0, тогда:
0 = v_0 - a_up * t_up
отсюда v_0 = a_up * t_up.
6. Для спуска используем аналогичное уравнение:
h = 0.5 * a_down * (t_down)^2,
где высота h – это та же высота, на которую шайба поднялась.
7. Из уравнения для спуска:
h = 0.5 * a_down * (2 * t_up)^2 = 2 * a_down * t_up^2.
8. Подставим выражения для ускорений:
h = 0.5 * (g * (sqrt(2)/2) + μ * g * (sqrt(2)/2)) * t_up^2
и
h = 2 * (g * (sqrt(2)/2) - μ * g * (sqrt(2)/2)) * t_up^2.
9. Приравняем два выражения для высоты h:
0.5 * (g * (sqrt(2)/2) + μ * g * (sqrt(2)/2)) * t_up^2
= 2 * (g * (sqrt(2)/2) - μ * g * (sqrt(2)/2)) * t_up^2.
10. Сократим t_up^2 и g (где g не равно 0):
0.5 * (sqrt(2)/2 + μ * (sqrt(2)/2)) = 2 * (sqrt(2)/2 - μ * (sqrt(2)/2)).
11. Упрощаем уравнение:
0.5 * (1 + μ) = 2 * (1 - μ).
12. Раскроем скобки:
0.5 + 0.5μ = 2 - 2μ.
13. Переносим все члены с μ в одну сторону:
0.5μ + 2μ = 2 - 0.5
2.5μ = 1.5.
14. Находим коэффициент трения:
μ = 1.5 / 2.5 = 0.6.
Ответ:
Коэффициент трения μ составляет 0.6.