Дано:
- начальная скорость v_0 = 3 м/с,
- коэффициент трения μ = 0,8,
- угол наклона плоскости θ = 45°.
Найти:
- скорость тела v при возвращении в исходную точку.
Решение:
1. На тело действуют силы: сила тяжести и сила трения. Рассмотрим движение вверх по наклонной плоскости. Сила тяжести, действующая вниз вдоль наклонной плоскости, будет равна:
F_gravity = m * g * sin(θ),
где g ≈ 9,81 м/с².
2. Сила трения, которая действует вниз по наклону, равна:
F_friction = μ * N,
где N - нормальная сила, равная:
N = m * g * cos(θ).
Таким образом:
F_friction = μ * m * g * cos(θ).
3. Запишем уравнение движения для подъема. Ускорение a_up будет:
a_up = -(g * sin(θ) + μ * g * cos(θ)).
Подставим значения sin(45°) и cos(45°):
a_up = -(g * (sqrt(2)/2) + 0.8 * g * (sqrt(2)/2))
= -g * (1 + 0.8) * (sqrt(2)/2)
= -1.8 * g * (sqrt(2)/2).
4. Теперь найдем высоту h, на которую поднимется тело. Используем закон сохранения энергии или уравнение движения. В конечный момент скорость будет равна 0:
0 = v_0^2 + 2 * a_up * h,
0 = 3^2 + 2 * (-1.8 * g * (sqrt(2)/2)) * h.
5. Подставим значение g:
0 = 9 - 2 * (1.8 * 9.81 * (sqrt(2)/2)) * h
9 = 1.8 * 9.81 * (sqrt(2)/2) * h
h = 9 / (1.8 * 9.81 * (sqrt(2)/2)).
6. Посчитаем h:
h ≈ 9 / (1.8 * 9.81 * 0.7071)
≈ 9 / 12.4453
≈ 0.723 м.
7. Теперь рассмотрим движение тела вниз. Начальная скорость при спуске будет равна 0, так как оно остановилось на верхней точке. Скорость v в любой момент можно найти из уравнения:
v^2 = 0 + 2 * g * sin(θ) * h - 2 * μ * g * cos(θ) * h,
где h – это высота, на которую поднялось тело.
8. Подставим значения:
v^2 = 2 * g * (sqrt(2)/2) * h - 2 * μ * g * (sqrt(2)/2) * h
= 2 * g * (sqrt(2)/2) * h * (1 - μ).
9. Таким образом, выражение принимает вид:
v^2 = (g * sqrt(2) * h) * (1 - 0.8).
10. Подставим h и g ≈ 9.81 м/с²:
v^2 = (9.81 * sqrt(2) * 0.723) * 0.2
≈ (9.81 * 1.414 * 0.723) * 0.2
≈ (9.81 * 1.014) * 0.2
≈ 9.95 * 0.2
≈ 1.99 м²/с².
11. Найдем скорость v:
v = sqrt(1.99) ≈ 1.41 м/с.
Ответ:
Скорость тела, когда оно вернется в исходную точку, составит примерно 1.41 м/с.