Дано:
- длина наклонной плоскости L = 4 м
- угол наклона α = 45°
- коэффициент трения μ = 0,1
- расстояние по горизонтали от основания наклонной плоскости d = 0,7 м
Найти:
- скорость тела v на расстоянии 0,7 м от основания наклонной плоскости.
Решение:
1. Сначала найдем высоту h, с которой соскальзывает тело. Для этого используем:
h = L * sin(α) = 4 * sin(45°) = 4 * (√2/2) = 2√2 м.
2. Теперь найдем силу тяжести, действующую на тело:
F_t = m * g, где g = 9,81 м/с².
3. Найдем компоненты сил на наклонной плоскости:
- Сила, направленная вниз по плоскости:
F_down = F_t * sin(α) = m * g * sin(45°) = m * g * (√2/2).
- Сила трения:
F_friction = μ * N, где N = F_t * cos(α) = m * g * cos(45°) = m * g * (√2/2).
Тогда:
F_friction = μ * (m * g * (√2/2)) = 0,1 * (m * g * (√2/2)).
4. Сила, действующая вдоль плоскости:
F_net = F_down - F_friction
= m * g * (√2/2) - 0,1 * (m * g * (√2/2))
= m * g * (√2/2) * (1 - 0,1)
= 0,9 * m * g * (√2/2).
5. Ускорение a тела на наклонной плоскости:
a = F_net / m = 0,9 * g * (√2/2)
= 0,9 * 9,81 * (√2/2) ≈ 6,93 м/с².
6. Теперь найдем скорость тела в конце наклонной плоскости. Используем уравнение движения:
v² = u² + 2a * s, где начальная скорость u = 0, s = L.
Тогда:
v² = 0 + 2 * a * L = 2 * 6,93 * 4 = 55,44.
7. Находим скорость v в конце наклонной плоскости:
v = √(55,44) ≈ 7,44 м/с.
8. Теперь найдем скорость тела на расстоянии 0,7 м от основания наклонной плоскости. В этом случае тело будет двигаться по горизонтали под действием силы трения:
- Сила трения:
F_friction_horizontal = μ * m * g = 0,1 * m * 9,81.
9. Ускорение a_h по горизонтали:
a_h = F_friction_horizontal / m = 0,1 * 9,81 = 0,981 м/с².
10. Время t, за которое тело пройдет 0,7 м по горизонтали:
s = v * t - 0,5 * a_h * t². Здесь начальная скорость по горизонтали равна v.
Подставляем значения, решаем относительно t, но проще будет воспользоваться формулой для конечной скорости:
v_final² = v² - 2 * a_h * s = v² - 2 * 0,981 * 0,7.
11. Подставляя v ≈ 7,44:
v_final² = 7,44² - 2 * 0,981 * 0,7
= 55,44 - 1,3746 ≈ 54,0654.
12. Находим v_final:
v_final = √(54,0654) ≈ 7,35 м/с.
Ответ:
Скорость тела на расстоянии 0,7 м от основания наклонной плоскости составляет примерно 7,35 м/с.