Question

Бруски массами m и 2m привязаны к концам легкой нити, перекинутой через невесомый блок (рис. 56). Система находится на наклонной плоскости с углом наклона а = 60°. При каком минимальном значении коэффициента трения между нижним бруском и наклонной плоскостью бруски будут покоиться? Трением между брусками и трением в блоке пренебречь.

Answer 1

Дано:  
m1 = m (масса первого бруска)   
m2 = 2m (масса второго бруска)  
α = 60° (угол наклона плоскости)  

Найти:  
минимальное значение коэффициента трения μ, при котором бруски будут покоиться.

Решение:

1. Рассмотрим силы, действующие на бруски:

Для первого бруска (масса m):
- Сила тяжести: F1_gravity = m * g
- Компоненты силы тяжести:
  F1_parallel = m * g * sin(α)
  F1_normal = m * g * cos(α)

Для второго бруска (масса 2m):
- Сила тяжести: F2_gravity = 2m * g
- Компоненты силы тяжести:
  F2_parallel = 2m * g * sin(α)
  F2_normal = 2m * g * cos(α)

2. Запишем уравнение для первого бруска:
- Сила трения, которая препятствует движению:
  F_friction1 = μ * F1_normal = μ * (m * g * cos(α))

3. Запишем уравнение для второго бруска:
- Сила трения, которая препятствует движению:
  F_friction2 = μ * F2_normal = μ * (2m * g * cos(α))

4. Для равновесия системы необходимо, чтобы сумма сил, действующих на бруски, была равна нулю. Составим уравнение движения для системы:

На первый брусок действуют:
- Направляющая вниз по плоскости сила: F1_parallel = m * g * sin(60°)
- Направляющая вверх по плоскости сила трения: F_friction1 = μ * (m * g * cos(60°))

На второй брусок действуют:
- Направляющая вниз по плоскости сила: F2_parallel = 2m * g * sin(60°)
- Направляющая вверх по плоскости сила трения: F_friction2 = μ * (2m * g * cos(60°))

5. Записываем уравнение равновесия для всей системы:

F1_parallel - F_friction1 - F2_parallel + F_friction2 = 0

Подставим значения:

m * g * sin(60°) - μ * (m * g * cos(60°)) - 2m * g * sin(60°) + μ * (2m * g * cos(60°) ) = 0

Упростим уравнение:

g * sin(60°) - μ * g * cos(60°) - 2g * sin(60°) + 2μ * g * cos(60°) = 0

6. Соберем все слагаемые с μ и без μ:

(-m * g * sin(60°)) + μ * (2m * g * cos(60°) - m * g * cos(60°)) = 0

7. Упростим уравнение:

-m * g * sin(60°) + μ * (m * g * cos(60°)) = 0

8. Теперь выразим μ:

μ = (m * g * sin(60°)) / (m * g * cos(60°))

9. Упростим:

μ = sin(60°) / cos(60°) = tan(60°)

10. Значение tan(60°) равно √3.

Ответ:  
Минимальное значение коэффициента трения μ, при котором бруски будут покоиться, равно √3.