Дано:
- длина не-деформированной пружины L_0 = 20 см = 0.2 м
- жесткость пружины k = 40 Н/м
- частота вращения f = 2 с^-1
- масса шара m = 50 г = 0.05 кг
Найти: длину пружины в условиях вращения (L).
Решение:
1. Во время вращения шара на него действует центростремительная сила, которая удерживает его на круговой траектории. Эта сила равна:
F_c = m * a_c,
где a_c – центростремительное ускорение.
2. Центростремительное ускорение можно выразить через радиус r и угловую скорость ω:
a_c = r * ω²,
где ω = 2 * π * f.
Подставим значение f:
ω = 2 * π * 2 ≈ 12.57 рад/с.
3. Таким образом, у нас получается:
a_c = r * ω² = r * (12.57)².
4. Теперь подставим выражение для центростремительной силы:
F_c = m * a_c = m * r * (12.57)².
5. Поскольку пружина будет растянута под действием этой силы, установим равновесие между силой натяжения пружины и центростремительной силой:
F_spring = k * (L - L_0),
где L – длина пружины при растяжении.
6. Приравняем эти две силы:
k * (L - L_0) = m * r * (12.57)².
7. Поскольку шар скользит по стержню, длина пружины будет равна радиусу r:
L = r, следовательно, подставим r вместо L:
k * (r - L_0) = m * r * (12.57)².
8. Перепишем уравнение:
k * (r - 0.2) = 0.05 * r * (12.57)².
9. Подставим значения k и вычислим (12.57)²:
k * (r - 0.2) = 0.05 * r * 158.1.
10. Упростим уравнение:
40 * (r - 0.2) = 0.05 * r * 158.1.
11. Переносим все члены на одну сторону:
40r - 8 = 7.905r.
12. Приведем подобные:
40r - 7.905r = 8,
32.095r = 8,
r ≈ 0.249 м.
13. Теперь можем найти длину пружины:
L = r ≈ 0.249 м.
Ответ: длина пружины при вращении составит примерно 0.249 м.