Дано:
- масса гирьки m = 100 г = 0.1 кг
- угловая скорость ω = 10 рад/с
- угол с вертикалью θ = 60°
- жесткость шнура k = 40 Н/м
Найти: длину нерастянутого шнура L_0.
Решение:
1. Сначала найдем центростремительное ускорение a_c, которое действует на гирьку:
a_c = ω² * r,
где r – радиус окружности движения гирьки.
2. При вращении гирьки шнур образует угол θ с вертикалью, следовательно, радиус r можно выразить через длину шнура L и угол θ:
r = L * sin(θ).
3. Таким образом, центростремительное ускорение будет:
a_c = ω² * (L * sin(θ)).
4. На гирьку также действуют две силы: сила тяжести (m * g) и натяжение в шнуре (T). Составим уравнение равновесия по вертикали и горизонтали.
5. По вертикали:
T * cos(θ) = m * g.
6. По горизонтали:
T * sin(θ) = m * a_c = m * ω² * (L * sin(θ)).
7. Теперь подставим T из первого уравнения во второе:
(m * g / cos(θ)) * sin(θ) = m * ω² * (L * sin(θ)).
8. Упростим это выражение:
m * g * tan(θ) = m * ω² * (L * sin(θ)).
9. Масса m сокращается:
g * tan(θ) = ω² * (L * sin(θ)).
10. Выразим длину шнура L:
L = g * tan(θ) / (ω² * sin(θ)).
11. Подставим известные значения:
g ≈ 9.81 м/c²,
tan(60°) = √3 ≈ 1.732,
sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.866.
12. Тогда:
L = (9.81 * 1.732) / (10² * 0.866)
= 17.00 / 86.6
≈ 0.196 м.
Ответ: длина нерастянутого шнура составляет примерно 0.196 м.