Привязанная к пружине гирька массой 100 г вращается по окружности в горизонтальной плоскости. При этом пружина составляет угол 30° с вертикалью. Период обращения гирьки равен 0,63 с. Чему равна длина недеформированной пружины, если её жёсткость 40 Н/м?
от

1 Ответ

Дано:
- масса гирьки m = 100 г = 0,1 кг,
- угол наклона пружины θ = 30°,
- период обращения T = 0,63 с,
- жёсткость пружины k = 40 Н/м.

Найти:
длину недеформированной пружины L_0.

Решение:

Сначала найдём радиус окружности R, по которой вращается гирька. Используем формулу для периода обращения:

T = 2 * π * sqrt(R / g_eff),

где g_eff – эффективное ускорение свободного падения, которое учитывает угол наклона пружины.

g_eff = g * cos(θ), где g = 9,81 м/с².

Подставим значение угла и найдём g_eff:

g_eff = 9,81 * cos(30°) ≈ 9,81 * √3 / 2 ≈ 8,49 м/с².

Теперь подставим T в формулу для нахождения R:

0,63 = 2 * π * sqrt(R / 8,49).

Из этого уравнения выразим R:

R = (T / (2 * π))^2 * g_eff.

Теперь подставим значения:

R = (0,63 / (2 * π))^2 * 8,49.

Вычислим:

R ≈ (0,63 / 6,2832)^2 * 8,49,
R ≈ (0,10005)^2 * 8,49,
R ≈ 0,01001 * 8,49 ≈ 0,0849 м.

Теперь найдём длину недеформированной пружины L_0. Пружина имеет два компонента: горизонтальный (R) и вертикальный (H). Используем тригонометрию для нахождения H:

H = R * tan(θ).

Итак, из треугольника, образованного пружиной, мы можем записать:

L_0 = H / sin(θ).

Однако сначала находим H:

H = R * tan(30°),
H = R * (√3 / 3).

Теперь подставляем R:

H ≈ 0,0849 * (√3 / 3) ≈ 0,0849 * 0,577 ≈ 0,0490 м.

Теперь вычисляем длину пружины:

L_0 = H / sin(30°).

Так как sin(30°) = 0,5:

L_0 = H / 0,5 ≈ 0,0490 / 0,5 ≈ 0,0980 м.

Ответ:
Длина недеформированной пружины составляет примерно 0,098 м.
от