Дано:
- масса гирьки m = 100 г = 0,1 кг,
- угол наклона пружины θ = 30°,
- период обращения T = 0,63 с,
- жёсткость пружины k = 40 Н/м.
Найти:
длину недеформированной пружины L_0.
Решение:
Сначала найдём радиус окружности R, по которой вращается гирька. Используем формулу для периода обращения:
T = 2 * π * sqrt(R / g_eff),
где g_eff – эффективное ускорение свободного падения, которое учитывает угол наклона пружины.
g_eff = g * cos(θ), где g = 9,81 м/с².
Подставим значение угла и найдём g_eff:
g_eff = 9,81 * cos(30°) ≈ 9,81 * √3 / 2 ≈ 8,49 м/с².
Теперь подставим T в формулу для нахождения R:
0,63 = 2 * π * sqrt(R / 8,49).
Из этого уравнения выразим R:
R = (T / (2 * π))^2 * g_eff.
Теперь подставим значения:
R = (0,63 / (2 * π))^2 * 8,49.
Вычислим:
R ≈ (0,63 / 6,2832)^2 * 8,49,
R ≈ (0,10005)^2 * 8,49,
R ≈ 0,01001 * 8,49 ≈ 0,0849 м.
Теперь найдём длину недеформированной пружины L_0. Пружина имеет два компонента: горизонтальный (R) и вертикальный (H). Используем тригонометрию для нахождения H:
H = R * tan(θ).
Итак, из треугольника, образованного пружиной, мы можем записать:
L_0 = H / sin(θ).
Однако сначала находим H:
H = R * tan(30°),
H = R * (√3 / 3).
Теперь подставляем R:
H ≈ 0,0849 * (√3 / 3) ≈ 0,0849 * 0,577 ≈ 0,0490 м.
Теперь вычисляем длину пружины:
L_0 = H / sin(30°).
Так как sin(30°) = 0,5:
L_0 = H / 0,5 ≈ 0,0490 / 0,5 ≈ 0,0980 м.
Ответ:
Длина недеформированной пружины составляет примерно 0,098 м.