Дано:
- ускорение подъема a = 2,5 м/с²
- угол отклонения от вертикали θ = 60°
- длина нити L = 1 м
Найти: период обращения маятника T.
Решение:
1. Определяем силу тяжести g. В стандартных условиях принимаем g = 9,81 м/с².
2. Анализируем силы, действующие на маятник. Сила тяжести mg направлена вниз, а натяжение нити T направлено вдоль нити под углом θ к вертикали.
3. Разложим натяжение на компоненты:
- вертикальная компонента: T * cos(θ)
- горизонтальная компонента: T * sin(θ)
4. Для равновесия по вертикали:
T * cos(θ) = m * (g - a)
5. Для равновесия по горизонтали (центростремительное ускорение):
T * sin(θ) = m * v² / r,
где v – линейная скорость, r = L * sin(θ) – радиус горизонтального движения.
6. Подставляем r в уравнение для горизонтальной силы:
T * sin(θ) = m * v² / (L * sin(θ))
7. Из уравнения для вертикальной силы выразим T:
T = m * (g - a) / cos(θ)
8. Подставим T в уравнение для горизонтального равновесия:
(m * (g - a) / cos(θ)) * sin(θ) = m * v² / (L * sin(θ))
9. Упростим уравнение, сократив m и перемножив обе стороны на L * sin(θ) * cos(θ):
(g - a) * sin(θ) * L = v² * cos(θ)
10. Найдем v²:
v² = (g - a) * sin(θ) * L / cos(θ)
11. Теперь найдем период T. Зная, что v = 2 * π * r / T, можно выразить T:
T = 2 * π * r / v
12. Подставим r и v в формулу:
T = 2 * π * (L * sin(θ)) / sqrt((g - a) * sin(θ) * L / cos(θ))
13. Упрощая получаем:
T = 2 * π * sqrt(L * cos(θ) / (g - a))
14. Подставляем известные значения:
- L = 1 м
- θ = 60°, cos(60°) = 0.5, sin(60°) ≈ 0.866
- g = 9.81 м/с², a = 2.5 м/с²
15. Находим:
T = 2 * π * sqrt(1 * 0.5 / (9.81 - 2.5))
= 2 * π * sqrt(0.5 / 7.31)
= 2 * π * sqrt(0.0684)
≈ 2 * π * 0.2615
≈ 1.645 с.
Ответ: период обращения маятника составляет примерно 1.645 с.