Дано:
- Длина нити l = 6 см = 0.06 м
- Расстояние от стержня до оси r = 10 см = 0.1 м
- Угол с вертикалью α = 45°
Найти: угловую скорость вращения диска ω.
Решение:
Когда шарик находится в равновесии, на него действуют две силы: сила тяжести mg и центростремительная сила. Сила тяжести направлена вниз, а центростремительная сила направлена к центру вращения диска.
Сначала запишем выражение для силы тяжести:
F_g = m * g,
где g - ускорение свободного падения, g ≈ 9.81 м/с².
Центростремительная сила F_c, действующая на шарик, определяется как:
F_c = m * a_c,
где a_c - центростремительное ускорение. Оно связано с угловой скоростью ω следующим образом:
a_c = r * ω^2.
С учетом угла α, проекции сил можно записать следующим образом:
1. Проекция силы тяжести на вертикальную составляющую:
F_g_vertical = F_g * cos(α) = mg * cos(45°).
2. Проекция центростремительной силы на горизонтальную составляющую:
F_c_horizontal = F_g * sin(α) = mg * sin(45°).
Так как шарик находится в равновесии, проекции сил должны быть равны:
m * a_c = mg * sin(45°).
Подставим в уравнение для a_c:
m * r * ω^2 = mg * sin(45°).
Сократим массу m:
r * ω^2 = g * sin(45°).
Теперь подставим значения:
ω^2 = (g * sin(45°)) / r.
Поскольку sin(45°) = √2 / 2, то у нас получается:
ω^2 = (9.81 * (√2 / 2)) / 0.1.
Теперь найдем значение:
ω^2 = (9.81 * 0.7071) / 0.1,
ω^2 ≈ 69.337.
Теперь найдем ω, взяв квадратный корень:
ω = √(69.337) ≈ 8.33 рад/с.
Ответ: Угловая скорость вращения диска составляет примерно 8.33 рад/с.