Дано:
- Масса шайбы m = 100 г = 0.1 кг
- Коэффициент трения μ = 0.4
- Частота вращения диска f1 = 2 об/с
- Частота вращения диска f2 = 5 об/с
Найти: длину пружины в недеформированном состоянии L0 и жесткость пружины k.
Решение:
Сначала найдем угловую скорость в радианах для обеих частот вращения:
ω1 = 2 * π * f1 = 2 * π * 2 = 4π рад/с,
ω2 = 2 * π * f2 = 2 * π * 5 = 10π рад/с.
На шайбу действуют две силы: центростремительная сила F_c и сила трения F_t.
Центростремительная сила определяется как:
F_c = m * r * ω^2,
где r - длина пружины (расстояние от оси вращения до шайбы).
Сила трения, которая противодействует скольжению, равна:
F_t = μ * m * g.
В состоянии, когда шайба находится на грани скольжения, выполняется уравнение:
F_c = F_t.
Подставим выражения для сил:
m * r * ω1^2 = μ * m * g.
Сократим массу m:
r * ω1^2 = μ * g.
Теперь подставим значения:
r * (4π)^2 = 0.4 * 9.81,
r * 16π^2 = 0.4 * 9.81.
Решим это уравнение для r:
r = (0.4 * 9.81) / (16π^2),
r ≈ 0.025 м.
Теперь мы знаем, что при частоте вращения f2 длина пружины увеличивается в 2 раза:
L2 = 2 * L0.
При частоте f2, у нас также есть уравнение с центростремительной силой:
m * (2 * L0) * ω2^2 = μ * m * g.
Сократим массу m:
(2 * L0) * ω2^2 = μ * g.
Теперь подставим значения:
(2 * L0) * (10π)^2 = 0.4 * 9.81,
(2 * L0) * 100π^2 = 0.4 * 9.81.
Решим это уравнение для L0:
2 * L0 = (0.4 * 9.81) / (100π^2),
L0 = (0.4 * 9.81) / (200π^2).
Теперь подставим числовые значения:
L0 ≈ (0.4 * 9.81) / (200 * 9.87),
L0 ≈ 0.002 m.
Теперь найдем жесткость пружины k, используя закон Гука. Сила, действующая на пружину в состоянии равновесия при частоте f1, равна силе трения:
F_t = k * Δx.
Так как при частоте f1 пружина недеформирована, то изменение длины пружины Δx будет равно r:
F_t = μ * m * g = k * L0.
Сократим массу m:
k = (μ * g) / L0.
Теперь подставим значения:
k = (0.4 * 9.81) / 0.002,
k ≈ 1962 Н/м.
Ответ: Длина пружины в недеформированном состоянии составляет примерно 0.002 м, а жесткость пружины равна примерно 1962 Н/м.