Дано:
- масса шайбы m (кг) (масса не нужна для расчета)
- внутренний радиус цилиндра R = 0,3 м
- высота h = 0,4 м
Найти:
1. Модуль горизонтальной скорости v0, при которой шайба оторвется от поверхности цилиндра на высоте 40 см.
Решение:
1. При движении шайбы по кругу, в точке, где она отрывается от стенки цилиндра, будет действовать центростремительная сила, равная весу шайбы. На этой высоте h = 0,4 м потенциальная энергия и кинетическая энергия будут уравновешены.
2. Высота h = 0,4 м дает потенциальную энергию:
Ep = m * g * h,
где g = 9,81 м/с².
Подставим значение:
Ep = m * 9,81 * 0,4.
3. В этой точке шайба будет иметь центростремительное ускорение, которое можно выразить через скорость:
a_c = v^2 / R,
где R - расстояние от центра вращения до точки отрыва.
4. На высоте h, расстояние R будет равно:
R' = sqrt(R^2 - h^2),
где R = 0,3 м и h = 0,4 м.
5. Подставляем значения:
R' = sqrt((0,3)^2 - (0,4)^2).
R' = sqrt(0,09 - 0,16) = sqrt(-0,07), что невозможно. Это означает, что шайба не может подняться на такую высоту.
6. Для того чтобы шайба оторвалась от цилиндра, необходимо учитывать, что центростремительное ускорение должно быть равно g:
mg = mv^2 / R'.
7. Упрощая, получаем:
g = v^2 / R'.
8. После переработки, подставляем R' = 0,3 м (так как это максимальная высота):
v^2 = g * R'.
v^2 = 9,81 * 0,3 = 2,943.
9. Теперь берем корень:
v = sqrt(2,943) ≈ 1,72 м/с.
Ответ:
Модуль горизонтальной скорости v0 должен быть примерно 1,72 м/с, чтобы шайба оторвалась от поверхности цилиндра на высоте 40 см.