Дано:
- радиус полусферы (R) = 30 см = 0,3 м
- ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
1. Высоту от стола, на которой шайба оторвётся от полусферы (h).
Решение:
1. Когда шайба начинает соскальзывать, она будет двигаться по поверхности полусферы и под действием силы тяжести будет терять потенциальную энергию, превращая её в кинетическую.
2. Пусть шайба оторвется от полусферы на угле θ относительно вертикали. В этом случае высота h, на которой находится шайба от стола, равна:
h = R(1 - cos(θ)).
3. Сила нормальной реакции в момент отрыва должна стать равной нулю. На шайбу в этот момент действуют две силы: сила тяжести (mg) и сила нормальной реакции (N). Используя второй закон Ньютона, можно выразить условия отрыва.
4. Центростремительное ускорение a_c для движения по кривой равно v²/R, где v — скорость шайбы в момент отрыва.
5. Рассмотрим сумму сил в радиальном направлении:
N + mg * cos(θ) = m * (v²/R).
6. В момент отрыва N = 0, следовательно:
mg * cos(θ) = m * (v²/R).
7. Упростим уравнение:
g * cos(θ) = v²/R.
8. Теперь найдем скорость v в зависимости от высоты. Сначала вычислим изменение потенциальной энергии. Начальная потенциальная энергия E_potential_initial:
E_potential_initial = mgR.
9. Потенциальная энергия, когда шайба находится на высоте h от стола:
E_potential_final = mg(R - h).
10. По закону сохранения энергии имеем:
E_potential_initial = E_potential_final + E_kinetic,
где E_kinetic = (1/2)mv².
11. Подставляем уравнения:
mgR = mg(R - h) + (1/2)mv².
12. Упрощаем:
mgR - mg(R - h) = (1/2)mv²,
mgh = (1/2)mv².
13. Упрощаем (m сокращается):
gh = (1/2)v².
14. Подставим v из условия отрыва:
gh = (1/2)(gR * cos(θ)).
15. Выразим h через R и θ:
h = (R/2) * cos(θ).
16. Принимаем cos(θ) = h / R, поскольку h = R(1 - cos(θ)):
h = (R/2) * (h/R),
h^2 = (R^2)/2,
h = R/√2.
17. Подставим значение R:
h = 0,3 м / √2 ≈ 0,212 м.
Ответ:
Шайба оторвётся от полусферы на высоте примерно 0,212 м от стола.