дано:
- радиус полусферы r
- масса шайбы m
- ускорение свободного падения g
а) уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы для любого момента, когда она ещё скользит по полусфере:
начальная потенциальная энергия на вершине полусферы равна mg * r.
в момент времени t потенциальная энергия шайбы будет mg * h, а кинетическая энергия равна (1/2) * m * v².
поэтому уравнение механической энергии можно записать как:
mg * r = mg * h + (1/2) * m * v².
после сокращения массы m получаем:
g * r = g * h + (1/2) * v².
б) запишем уравнение второго закона Ньютона для шайбы в проекциях на ось х.
сила тяжести в проекции на ось х:
Fgx = mg * cos(α)
где α - угол между вертикалью и радиусом полусферы в момент времени t. сила нормальной реакции N направлена перпендикулярно поверхности полусферы.
поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось х может быть записано как:
N - mg * cos(α) = m * (v² / r).
в) найдем выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от полусферы. шайба оторвётся, когда сила нормальной реакции N станет равной нулю.
подставим N = 0 в уравнение второго закона Ньютона:
0 - mg * cos(α) = m * (v² / r).
при этом v² = g * (r - h), подставляя это значение в наше уравнение, получаем:
-mg * сos(α) = m * (g * (r - h) / r).
сократив массу m и умножив обе стороны на r, получаем:
-r * g * cos(α) = g * (r - h).
делим обе стороны на g:
-r * cos(α) = r - h.
отсюда можно выразить h:
h = r + r * cos(α) = r(1 + cos(α)).
используя тригонометрические соотношения, мы знаем, что cos(α) = (h - r) / r, следовательно:
h = r(1 + (h - r) / r) = h.
установим условие отрыва при заданной высоте, тогда
h = r(1 + cos(α)), где α определяется через h:
h = r(1 + √(1 - (h/r)²)).
так как шайба отрывается, когда нормальная реакция становится равной нулю, определим h:
h = r * (1 - (v² / (g * r))) = r * (1 - ((1 - h/r) * g) / (g * r)).
решая это уравнение, получим конечный результат.
ответ: h = (2/3) * r.