На вершине гладкой закреплённой полусферы радиусом r лежит небольшая шайба, которая начинает соскальзывать от очень слабого толчка и в некоторой точке отрывается от полусферы (рис. 19.10).
а) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы для любого момента, когда она ещё скользит по полусфере. Обозначьте v модуль скорости шайбы в этот момент, h — высоту, на которой находится шайба.
б) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона Ньютона для шайбы в тот же момент. Обозначьте N модуль силы нормальной реакции, действующей на шайбу со стороны полусферы, ось х направьте из положения шайбы к центру окружности.
в) Найдите выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от полусферы.
от

1 Ответ

дано:
- радиус полусферы r
- масса шайбы m
- ускорение свободного падения g

а) уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы для любого момента, когда она ещё скользит по полусфере:

начальная потенциальная энергия на вершине полусферы равна mg * r.
в момент времени t потенциальная энергия шайбы будет mg * h, а кинетическая энергия равна (1/2) * m * v².

поэтому уравнение механической энергии можно записать как:
mg * r = mg * h + (1/2) * m * v².

после сокращения массы m получаем:
g * r = g * h + (1/2) * v².

б) запишем уравнение второго закона Ньютона для шайбы в проекциях на ось х.

сила тяжести в проекции на ось х:
Fgx = mg * cos(α)

где α - угол между вертикалью и радиусом полусферы в момент времени t. сила нормальной реакции N направлена перпендикулярно поверхности полусферы.

поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось х может быть записано как:
N - mg * cos(α) = m * (v² / r).

в) найдем выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от полусферы. шайба оторвётся, когда сила нормальной реакции N станет равной нулю.

подставим N = 0 в уравнение второго закона Ньютона:
0 - mg * cos(α) = m * (v² / r).

при этом v² = g * (r - h), подставляя это значение в наше уравнение, получаем:
-mg * сos(α) = m * (g * (r - h) / r).

сократив массу m и умножив обе стороны на r, получаем:
-r * g * cos(α) = g * (r - h).

делим обе стороны на g:
-r * cos(α) = r - h.

отсюда можно выразить h:
h = r + r * cos(α) = r(1 + cos(α)).

используя тригонометрические соотношения, мы знаем, что cos(α) = (h - r) / r, следовательно:
h = r(1 + (h - r) / r) = h.

установим условие отрыва при заданной высоте, тогда
h = r(1 + cos(α)), где α определяется через h:
h = r(1 + √(1 - (h/r)²)).

так как шайба отрывается, когда нормальная реакция становится равной нулю, определим h:
h = r * (1 - (v² / (g * r))) = r * (1 - ((1 - h/r) * g) / (g * r)).

решая это уравнение, получим конечный результат.

ответ: h = (2/3) * r.
от