Дано:
Масса стержня (m) = 1 кг
Угол наклона (α) = 30°
Ускорение свободного падения (g) = 9.81 м/с²
Найти:
1. Натяжение нити (T)
2. Реакцию шарнира (R)
Решение:
1. Вычислим вес стержня (P):
P = m * g = 1 kg * 9.81 m/s² = 9.81 N.
2. Рассмотрим систему в равновесии. Стержень находится под действием трех сил:
- Вес стержня, направленный вниз (P).
- Натяжение нити (T), которое имеет компоненты по вертикали и горизонтали.
- Реакция шарнира (R), которая также имеет две компоненты: R_x и R_y.
3. Разложим силу натяжения на компоненты:
T_x = T * cos(α)
T_y = T * sin(α)
4. Установим условия равновесия для стержня:
В горизонтальном направлении:
R_x - T_x = 0
=> R_x = T_x = T * cos(30°).
В вертикальном направлении:
R_y + T_y - P = 0
=> R_y = P - T_y
=> R_y = P - T * sin(30°).
5. Подставим значение веса:
R_y = 9.81 N - T * sin(30°)
sin(30°) = 0.5
=> R_y = 9.81 N - 0.5T.
6. Для моментного равновесия относительно точки A:
Сумма моментов относительно точки A должна быть равна нулю. Момент от веса стержня (M_P) и момент от натяжения (M_T):
M_P = P * (L/2) * cos(30°)
M_T = T * L * sin(30°)
где L — длина стержня (поскольку не указана, мы можем считать длину стержня равной 1 м для упрощения расчетов). Если L = 1 м, тогда:
M_P = 9.81 N * (0.5 m) * cos(30°)
cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866
=> M_P = 9.81 * 0.5 * 0.866 ≈ 4.25 N·m.
Теперь найдем момент от натяжения T:
M_T = T * 1 * sin(30°)
=> M_T = T * 0.5.
7. Приравняем моменты:
M_P = M_T
=> 4.25 N·m = T * 0.5
=> T = 4.25 / 0.5 = 8.5 N.
8. Подставим значение натяжения T в уравнение для вертикальной реакции:
R_y = 9.81 N - 0.5 * 8.5 N
=> R_y = 9.81 N - 4.25 N = 5.56 N.
9. Найдем горизонтальную реакцию:
R_x = T_x = T * cos(30°)
=> R_x = 8.5 N * (√3/2) ≈ 8.5 * 0.866 ≈ 7.37 N.
Ответ:
Натяжение нити T = 8.5 N,
Реакция шарнира R = √(R_x^2 + R_y^2) = √((7.37)^2 + (5.56)^2) ≈ √(54.36 + 30.94) ≈ √85.3 ≈ 9.24 N.