Дано:
- Коэффициент трения между доской и полом (μ1) = 0,4
- Коэффициент трения между доской и стеной (μ2) = 0,5
- Угол между доской и горизонтальным полом (α) – необходимо найти.
Найти: минимальный угол α, при котором доска останется в равновесии.
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на доску:
- Сила тяжести (mg) действует вниз.
- Нормальная сила (N1) от пола действует вверх.
- Сила трения (F1) от пола направлена вправо.
- Нормальная сила (N2) от стены направлена влево.
- Сила трения от стены (F2) направлена вниз.
2. Для равновесия по вертикали:
N1 = mg + F2
3. Сила трения от стены:
F2 = μ2 * N2
N2 = F1 = μ1 * N1
4. Подставим F1 и F2 в уравнение:
N1 = mg + μ2 * (μ1 * N1)
5. Перепишем уравнение:
N1 - μ2 * μ1 * N1 = mg
N1 * (1 - μ2 * μ1) = mg
6. Решаем для N1:
N1 = mg / (1 - μ2 * μ1)
7. Теперь подставим значения:
μ1 = 0,4, μ2 = 0,5
N1 = mg / (1 - 0,5 * 0,4) = mg / (1 - 0,2) = mg / 0,8
8. Учитываем моменты относительно точки соприкосновения с полом.
Момент от тяжести (с учетом расстояния) равен:
Mг = mg * (L/2) * cos(α)
Момент от силы нормальной от стены:
Mн = N2 * L * sin(α)
9. Сравниваем моменты:
mg * (L/2) * cos(α) = N2 * L * sin(α)
10. Подставим N2:
N2 = μ1 * N1
N2 = μ1 * (mg / 0,8)
11. Получаем:
mg * (L/2) * cos(α) = μ1 * (mg / 0,8) * L * sin(α)
12. Упрощаем уравнение (mg сокращается):
(1/2) * cos(α) = μ1 * (1/0,8) * sin(α)
13. Подставим μ1 = 0,4:
(1/2) * cos(α) = 0,4 * (1/0,8) * sin(α)
14. Упрощаем:
(1/2) * cos(α) = 0,5 * sin(α)
15. Делим обе стороны на cos(α):
(1/2) = 0,5 * tan(α)
16. Решаем для tan(α):
tan(α) = 1
17. Находим угол:
α = arctan(1) = 45°
Ответ: минимальный угол между доской и горизонтальным полом, при котором доска сохранит равновесие, составляет 45°.