Дано:
- длина доски L
- коэффициент трения между доской и полом u
Найти:
максимальное расстояние d от нижнего конца доски до стены.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник, образованный доской, полом и стеной. Обозначим расстояние от нижнего конца доски до стены как d. Высота, на которой находится верхний конец доски, будет равна h.
2. По теореме Пифагора имеем:
d^2 + h^2 = L^2.
3. Также, используя угол наклона α, который можно определить через d и h:
sin(α) = h / L,
cos(α) = d / L.
4. Для равновесия доски необходимо учитывать силы: силу тяжести mg, нормальную силу N от пола и силу реакции трения F_t = uN.
5. Составим уравнения для моментов относительно точки опоры (нижнего конца доски):
mg * (d/2) = R * h,
где R — сила реакции стены.
6. Реакция стены равна F_t, поэтому:
R = uN.
7. Нормальная сила N равна:
N = mg * cos(α).
8. Подставляем N в выражение для R:
R = u * (mg * cos(α)).
9. Теперь подставим все в уравнение моментов:
mg * (d/2) = (u * (mg * cos(α))) * h.
10. Сократим mg:
(d/2) = u * cos(α) * h.
11. Из предыдущих соотношений выразим h через d:
h = sqrt(L^2 - d^2).
12. Подставим h в уравнение:
(d/2) = u * cos(α) * sqrt(L^2 - d^2).
13. Заменим cos(α) на d/L:
(d/2) = u * (d/L) * sqrt(L^2 - d^2).
14. Упростим уравнение:
d^2 = 2u * sqrt(L^2 - d^2) * (L).
15. Квадратим обе стороны:
d^4 = 4u^2 * (L^2 - d^2) * L^2.
16. Раскроем скобки и приведем подобные:
d^4 + 4u^2 * d^2 * L^2 - 4u^2 * L^4 = 0.
17. Это уравнение является квадратным относительно d^2. Решив его, найдем максимальное значение d.
Ответ:
Максимальное расстояние d, на котором может находиться нижний конец доски от стены, можно найти решив квадратное уравнение, полученное из условий равновесия.