Дано:
- масса шарика m = 200 г = 0.2 кг
- жесткость пружины k = 40 Н/м
- длина пружины в спокойном состоянии L0 = 15 см = 0.15 м
- скорость третьего шарика v = 2 м/с
Найти:
- максимальное и минимальное расстояние между шариками.
Решение:
1. При упругом соударении третьего шарика с одним из неподвижных шариков можно использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
2. Пусть третий шарик соударяется с первым неподвижным шариком.
Сначала находим скорость первого шарика после соударения. Обозначим:
- V1 - скорость первого шарика после удара
- V2 - скорость второго шарика (который также неподвижен до удара)
Согласно закону сохранения импульса:
m * v = m * V1 + m * V2
Учитывая, что после соударения один шарик начинает двигаться, а другой остается неподвижным:
2 = V1 + 0
Таким образом, V1 = 2 м/с.
3. Теперь применим закон сохранения энергии для упругого соударения.
Кинетическая энергия до удара равна сумме кинетической энергии после удара:
(1/2) * m * v^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m * V2^2.
Подставляем значения:
(1/2) * 0.2 * (2)^2 = (1/2) * 0.2 * (2)^2 + (1/2) * 0.2 * V2^2.
Упрощаем уравнение:
0.4 = 0.4 + 0.1 * V2^2.
Таким образом:
0 = 0.1 * V2^2.
Это означает, что после соударения второй шарик не движется.
4. Теперь найдем максимальное и минимальное расстояние между шариками.
Максимальное расстояние будет достигнуто, когда пружина максимально растянута. При этом вся кинетическая энергия первого шарика преобразуется в потенциальную энергию пружины.
Потенциальная энергия пружины:
Eпот = (1/2) * k * x^2,
где x - изменение длины пружины от ее спокойного состояния.
Кинетическая энергия шарика:
Eкин = (1/2) * m * V1^2 = (1/2) * 0.2 * (2)^2 = 0.4 Дж.
При равенстве энергий:
0.4 = (1/2) * 40 * x^2.
Упрощаем:
0.4 = 20 * x^2,
x^2 = 0.02,
x = sqrt(0.02) ≈ 0.1414 м.
5. Максимальное расстояние между шариками будет равно:
Lmax = L0 + x = 0.15 + 0.1414 ≈ 0.2914 м.
6. Минимальное расстояние будет при максимальном сжатии пружины. В этом случае потенциальная энергия пружины равна нулю, и расстояние минимально:
Lmin = L0 - x = 0.15 - 0.1414 ≈ 0.0086 м.
Ответ:
Максимальное расстояние между шариками составляет примерно 0.2914 м, минимальное - примерно 0.0086 м.