Медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. При какой угловой скорости вращения стержень разорвется? Плотность меди 8900 кг/м3. Предел прочности меди 235 МПа.
от

1 Ответ

Дано:
- Длина стержня (L) = 1 м
- Плотность меди (ρ) = 8900 кг/м³
- Предел прочности меди (σ) = 235 МПа = 235 × 10^6 Па

Найти:
- Угловая скорость (ω), при которой стержень разорвется.

Решение:
1. Определим массу стержня.
   Объем стержня (V) равен:
   V = L × A, где A – площадь поперечного сечения.

   Так как A не задано, мы можем оставить его как переменную и выразить массу (m):
   m = ρ × V = ρ × L × A = 8900 × 1 × A = 8900A (кг).

2. Стержень вращается вокруг вертикальной оси. Сила, действующая на элемент стержня длиной dx на расстоянии x от оси вращения, равна:
   dF = m × a = m × ω² × x.

   Подставляя значение массы:
   dF = (8900A) × (ω²) × x.

3. Рассмотрим общий элемент стержня dx:
   dF = (8900A)(ω²)x dx.

4. Чтобы стержень не разорвался, максимальная сила, действующая на него, должна быть меньше или равна пределу прочности:
   dF = σ × A.

5. Приравняем силы:
   (8900A)(ω²)x dx = σ × A.

   Упростим, разделив обе стороны на A:
   8900ω²x dx = σ.

6. Интегрируем обе стороны по длине стержня от 0 до L (где L = 1 м):
   ∫(0 до 1)(8900ω²x) dx = ∫(0 до 1)σ dx.

   Левую часть интеграла:
   ∫(0 до 1)(8900ω²x) dx = 8900ω² × (1/2)x² | (0 до 1) = 8900ω² × (1/2) = 4450ω².

   Правую часть:
   ∫(0 до 1)σ dx = σ × L = σ × 1 = σ.

7. Теперь у нас есть уравнение:
   4450ω² = σ.

8. Подставим значение предела прочности:
   4450ω² = 235 × 10^6.

   Найдем угловую скорость ω:
   ω² = (235 × 10^6) / 4450.

   ω² = 52809.00.

   ω = sqrt(52809.00) ≈ 229.76 рад/с.

Ответ:
Угловая скорость вращения, при которой стержень разорвется, составляет примерно 229.76 рад/с.
от