Дано:
- Длина стержня (L) = 1 м
- Плотность меди (ρ) = 8900 кг/м³
- Предел прочности меди (σ) = 235 МПа = 235 × 10^6 Па
Найти:
- Угловая скорость (ω), при которой стержень разорвется.
Решение:
1. Определим массу стержня.
Объем стержня (V) равен:
V = L × A, где A – площадь поперечного сечения.
Так как A не задано, мы можем оставить его как переменную и выразить массу (m):
m = ρ × V = ρ × L × A = 8900 × 1 × A = 8900A (кг).
2. Стержень вращается вокруг вертикальной оси. Сила, действующая на элемент стержня длиной dx на расстоянии x от оси вращения, равна:
dF = m × a = m × ω² × x.
Подставляя значение массы:
dF = (8900A) × (ω²) × x.
3. Рассмотрим общий элемент стержня dx:
dF = (8900A)(ω²)x dx.
4. Чтобы стержень не разорвался, максимальная сила, действующая на него, должна быть меньше или равна пределу прочности:
dF = σ × A.
5. Приравняем силы:
(8900A)(ω²)x dx = σ × A.
Упростим, разделив обе стороны на A:
8900ω²x dx = σ.
6. Интегрируем обе стороны по длине стержня от 0 до L (где L = 1 м):
∫(0 до 1)(8900ω²x) dx = ∫(0 до 1)σ dx.
Левую часть интеграла:
∫(0 до 1)(8900ω²x) dx = 8900ω² × (1/2)x² | (0 до 1) = 8900ω² × (1/2) = 4450ω².
Правую часть:
∫(0 до 1)σ dx = σ × L = σ × 1 = σ.
7. Теперь у нас есть уравнение:
4450ω² = σ.
8. Подставим значение предела прочности:
4450ω² = 235 × 10^6.
Найдем угловую скорость ω:
ω² = (235 × 10^6) / 4450.
ω² = 52809.00.
ω = sqrt(52809.00) ≈ 229.76 рад/с.
Ответ:
Угловая скорость вращения, при которой стержень разорвется, составляет примерно 229.76 рад/с.