Дано:
- диэлектрическая проницаемость керосина (ε) = 2
- плотность керосина (ρ_керосин) = 800 кг/м³
- длина нитей (L) = ?
- угол между шариками (θ) = ?
- заряд шариков (q) = ?
Найти: плотность материала шариков (ρ_шарика).
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на шарики в воздухе:
- Сила тяжести (F_gravity) направлена вниз и равна:
F_gravity = m * g = ρ_шарика * V * g,
где V - объем шарика, g - ускорение свободного падения.
- Сила архимеда (F_buoyancy) при погружении в керосин направлена вверх и равна:
F_buoyancy = V * ρ_керосин * g.
- Сила электростатического отталкивания (F_electric) между шариками:
F_electric = k * |q1 * q2| / r^2,
где k - коэффициент пропорциональности (константа Кулона), r - расстояние между шариками.
2. При равновесии сил (когда угол между нитями не изменился), можем записать уравнение для вертикальных сил:
F_gravity - F_buoyancy = F_electric.
3. Подставляем выражения для сил:
ρ_шарика * V * g - V * ρ_керосин * g = k * |q|^2 / r^2.
4. Упрощаем уравнение:
V * (ρ_шарика - ρ_керосин) * g = k * |q|^2 / r^2.
5. Объем шарика V можно выразить через его радиус R (V = (4/3) * π * R^3):
(4/3) * π * R^3 * (ρ_шарика - ρ_керосин) * g = k * |q|^2 / r^2.
6. Теперь выразим ρ_шарика:
ρ_шарика = ρ_керосин + (k * |q|^2) / ((4/3) * π * R^3 * g * r^2).
7. Поскольку мы знаем диэлектрическую проницаемость керосина, она влияет на силу электростатического отталкивания. Сила в диэлектрике определяется как:
F_electric = (k / ε) * |q|^2 / r^2,
где ε = 2.
8. Подставляем это в уравнение:
ρ_шарика = ρ_керосин + ((k / ε) * |q|^2) / ((4/3) * π * R^3 * g * r^2).
9. Теперь подставляем значения:
ρ_керосин = 800 кг/м³,
ε = 2,
g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения).
10. Сначала найдем значение k, используя известное значение для вакуума k = 8.99 * 10^9 Н·м²/Кл². Поскольку в керосине диэлектрическая проницаемость 2, можем написать:
k_eff = k / ε = (8.99 * 10^9) / 2 = 4.495 * 10^9 Н·м²/Кл².
11. Далее необходимо определить значения зарядов q и расстояние r между шариками, так как без этих данных невозможно найти числовое значение ρ_шарика.
12. Если предположим, что расстояние между центрами шариков r = 0.1 м, а заряд q = 1 * 10^-6 Кл, подставим в уравнение:
ρ_шарика = 800 + (4.495 * 10^9 * (1 * 10^-6)^2) / ((4/3) * π * R^3 * 9.81 * (0.1)^2).
13. Подставим радиус шарика R = 0.02 м (примерно 2 см) в уравнение:
ρ_шарика = 800 + (4.495 * 10^9 * (1 * 10^-12)) / ((4/3) * π * (0.02)^3 * 9.81 * (0.1)^2).
14. Рассчитаем значение:
V = (4/3) * π * (0.02)^3 ≈ 3.35 * 10^-5 м³.
15. Подставляем обратно:
ρ_шарика = 800 + (4.495 * 10^9 * 10^-12) / (3.35 * 10^-5 * 9.81 * 0.01).
16. После расчетов получаем:
ρ_шарика = 800 + 0.135 = 800.135 кг/м³.
Ответ: Плотность материала шариков приблизительно равна 800.135 кг/м³.