Дано:
d = 5 мм = 0.005 м (расстояние между обкладками конденсатора)
U_initial = 50 В (начальная разность потенциалов)
t_plate = 1 мм = 0.001 м (толщина металлической пластинки)
Найти: установившуюся разность потенциалов U_final на конденсаторе после размещения пластинки.
Решение:
1. Определим общую длину изолятора в конденсаторе до и после помещенной пластинки.
- Исходная длина (толщина) между обкладками: d = 0.005 м
- После вставки металлической пластинки новая длина будет:
d_total = d - t_plate = 0.005 - 0.001 = 0.004 м
2. Найдем начальную емкость конденсатора C_initial. Емкость плоского конденсатора определяется формулой:
C = ε_0 * S / d
где ε_0 = 8.85 * 10^(-12) Ф/м (постоянная диэлектрическая проницаемость вакуума), а S - площадь обкладок. Площадь не влияет на расчет, поскольку она сократится при нахождении новой емкости.
Для начальной емкости:
C_initial = ε_0 * S / d
3. После добавления металлической пластинки емкость изменится. Конденсатор теперь состоит из двух последовательных частей: часть с диэлектриком и часть с металлом.
Общая длина d_total = d - t_plate = 0.004 м.
При этом можно считать, что пластинка не влияет на емкость, а только на потенциальное распределение.
4. Найдем новую емкость C_final после добавления пластинки. Поскольку мы рассматриваем две части, одна из которых с воздухом, а другая - с металлом, для расчета можно использовать аналогию с двумя последовательно соединенными конденсаторами.
Обозначим:
d_air = 0.004 м (длина, где находится воздух)
d_metal = 0.001 м (длина, где находится металл)
Таким образом,
C_air = ε_0 * S / d_air
C_metal = бесконечная емкость (так как у металла нет разности потенциалов).
Теперь общая емкость можно выразить как:
1/C_final = 1/C_air + 1/C_metal
Поскольку C_metal стремится к бесконечности, то:
C_final ≈ C_air
5. Теперь найдем новое значение разности потенциалов U_final:
Сначала определим заряд Q, который остался на конденсаторе после отключения от источника. Он равен:
Q = C_initial * U_initial
Теперь, используя новую емкость, можем найти U_final:
U_final = Q / C_final
Подставим значения:
Q = (ε_0 * S / d) * U_initial
U_final = (ε_0 * S / d) * U_initial / (ε_0 * S / d_air)
После сокращения получаем:
U_final = U_initial * (d_air / d)
6. Подставим известные значения:
d_air = 0.004 м
d = 0.005 м
U_initial = 50 В
U_final = 50 * (0.004 / 0.005)
U_final = 50 * 0.8
U_final = 40 В
Ответ:
Установившаяся разность потенциалов на конденсаторе после помещения металлической пластинки составит 40 В.