Дано:
Внутреннее сопротивление аккумулятора: Ri = 0,5 Ом
Сопротивление резистора: Rr = 100 Ом
Сопротивление вольтметра: Rv (нужно найти)
При последовательном и параллельном подключении вольтметра к резистору показания не изменяются.
Найти: Rv
Решение:
1. Сначала определим ток в цепи при последовательном подключении. Общее сопротивление в цепи будет равно:
Rс1 = Ri + Rr + Rv
Ток в цепи:
I1 = E / (Ri + Rr + Rv)
Напряжение на вольтметре (Uв1):
Uв1 = I1 * Rv = (E / (Ri + Rr + Rv)) * Rv
2. Теперь рассмотрим случай параллельного подключения вольтметра. Общее сопротивление в цепи будет:
Rпараллель = Rr || Rv = (Rr * Rv) / (Rr + Rv)
Общее сопротивление цепи:
Rс2 = Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv)
Ток в цепи:
I2 = E / (Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv))
Напряжение на вольтметре (Uв2):
Uв2 = I2 * Rv = (E / (Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv))) * Rv
3. Поскольку Uв1 = Uв2, то подставим выражения для напряжения:
(E / (Ri + Rr + Rv)) * Rv = (E / (Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv))) * Rv
Сократим Rv и E, так как они не равны нулю:
1 / (Ri + Rr + Rv) = 1 / (Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv))
4. Умножим обе стороны на (Ri + Rr + Rv)(Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv)):
(Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv)) = (Ri + Rr + Rv)
5. Раскроем скобки и упрощим уравнение:
Ri + (Rr * Rv) / (Rr + Rv) = Ri + Rr + Rv
Уберем Ri с обеих сторон:
(Rr * Rv) / (Rr + Rv) = Rr + Rv
6. Переносим все слагаемые в одну сторону:
(Rr * Rv) / (Rr + Rv) - Rr - Rv = 0
7. Умножим на (Rr + Rv) для устранения дроби:
Rr * Rv - Rr(Rr + Rv) - Rv(Rr + Rv) = 0
8. Раскроем скобки:
Rr * Rv - Rr^2 - Rr * Rv - Rv^2 = 0
9. Упрощаем уравнение:
-Rr^2 - Rv^2 = 0
10. Упрощаем:
Rv^2 = Rr^2
Таким образом, Rv = Rr, что дает нам:
Rv = 100 Ом.
Ответ: Сопротивление вольтметра Rv = 100 Ом.