Дано:
- Смещение (x) = 4 см = 0,04 м (в СИ)
- Скорость (v) = 5 см/с = 0,05 м/с (в СИ)
- Ускорение (a) = 80 см/с^2 = 0,8 м/с^2 (в СИ)
Найти:
- Максимальная скорость (V_max)
- Максимальное ускорение (A_max)
Решение:
1. Уравнение гармонического колебания:
a = -ω^2 * x
где a - ускорение, ω - угловая частота, x - смещение. Подставим известные значения:
0,8 = -ω^2 * 0,04.
Поскольку ускорение направлено к равновесному положению, его значение будет положительным:
0,8 = ω^2 * 0,04.
Следовательно, ω^2 = 0,8 / 0,04 = 20.
Теперь найдем угловую частоту:
ω = √20 = 4,47 рад/с.
2. Максимальное ускорение определяется как:
A_max = ω^2 * A,
где A - амплитуда колебаний. Для нахождения A воспользуемся соотношением:
v = ω * √(A^2 - x^2).
Подставим известные значения:
0,05 = 4,47 * √(A^2 - (0,04)^2).
Возведем обе стороны в квадрат:
(0,05)^2 = (4,47)^2 * (A^2 - 0,0016).
0,0025 = 19,98 * (A^2 - 0,0016).
Теперь раскроем скобки:
0,0025 = 19,98 * A^2 - 0,0319.
Переносим все в одну сторону:
19,98 * A^2 = 0,0025 + 0,0319 = 0,0344.
Найдем A^2:
A^2 = 0,0344 / 19,98 = 0,00172.
Найдем A:
A = √0,00172 = 0,0414 м = 4,14 см.
3. Теперь, когда у нас есть A, найдем максимальное ускорение:
A_max = ω^2 * A = 20 * 0,0414 = 0,828 м/с^2 = 82,8 см/с^2.
4. Максимальная скорость определяется как:
V_max = ω * A = 4,47 * 0,0414 = 0,185 м/с = 18,5 см/с.
Ответ:
Максимальная скорость материальной точки равна 18,5 см/с, максимальное ускорение равно 82,8 см/с^2.