Дано:
длина маятника L1 = 1 м
отставание за сутки t = 1 ч = 3600 с
ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
длина маятника L2, при которой часы будут показывать точное время.
Решение:
1. Сначала найдем период колебаний для маятника длиной 1 м. Период T можно рассчитать по формуле:
T = 2π * sqrt(L/g)
где L - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
Для L1 = 1 м:
T1 = 2π * sqrt(1/9,81)
T1 ≈ 2π * sqrt(0,10183)
T1 ≈ 2π * 0,3192
T1 ≈ 2,006 с.
2. Часы отстают на 1 час за сутки. Это означает, что они проходят меньше периодов колебаний, чем необходимо. В одних сутках 86400 с.
Таким образом, количество периодов, которые часы должны пройти за сутки:
N = 86400 / T1
N ≈ 86400 / 2,006 ≈ 43063,4.
3. Часы фактически проходят на 1 час меньше, то есть они проходят периодов:
N' = N - 1 час в секундах / T1
N' = N - 3600 / T1
N' ≈ 43063,4 - 3600 / 2,006
N' ≈ 43063,4 - 1790,7 ≈ 41272,7.
4. Теперь найдем новый период T2, при котором часы будут показывать правильное время:
N' = 86400 / T2
T2 = 86400 / N'
T2 ≈ 86400 / 41272,7 ≈ 2,094 с.
5. Теперь найдём новую длину L2, используя период T2:
T2 = 2π * sqrt(L2/g)
sqrt(L2/g) = T2 / (2π)
L2/g = (T2 / (2π))²
L2 = g * (T2 / (2π))².
Подставим значение T2:
L2 = 9,81 * (2,094 / (2 * 3,14159))²
L2 ≈ 9,81 * (2,094 / 6,28318)²
L2 ≈ 9,81 * (0,3337)²
L2 ≈ 9,81 * 0,111.
L2 ≈ 1,09 м.
6. Найдём, на сколько нужно укоротить маятник:
ΔL = L1 - L2
ΔL = 1 - 0,109
ΔL = 0,891 м.
Ответ:
Необходимо укоротить маятник часов примерно на 0,891 м, чтобы они показывали точное время.