Дано:
Периоды колебаний первого маятника T1 и второго маятника T2.
Количество колебаний первого маятника N1 = 30.
Количество колебаний второго маятника N2 = 36.
Разница в длине маятников: L2 - L1 = 0,22 м (или 22 см).
Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².
Найти:
Длину первого маятника L1 и длину второго маятника L2.
Решение:
1. Сначала найдем период колебаний каждого маятника. Период определяется по формуле:
T = t/N,
где T - период, t - общее время колебаний, N - количество колебаний.
Для двух маятников:
T1 = t / 30,
T2 = t / 36.
2. Поскольку длина маятника связана с его периодом по формуле:
T = 2 * π * sqrt(L/g),
можем выразить длину через период:
L = (T * g / (2 * π))^2.
3. Подставим выражения для периодов в формулу длины:
L1 = (T1 * g / (2 * π))^2 = (t / 30 * g / (2 * π))^2,
L2 = (T2 * g / (2 * π))^2 = (t / 36 * g / (2 * π))^2.
4. Подставим L1 и L2 в уравнение разности длины:
L2 - L1 = 0,22.
Получаем:
(t / 36 * g / (2 * π))^2 - (t / 30 * g / (2 * π))^2 = 0,22.
5. Вынесем g / (2 * π) в квадрат:
(g / (2 * π))^2 * [(t / 36)^2 - (t / 30)^2] = 0,22.
6. Теперь выразим t:
[(t / 36)^2 - (t / 30)^2] = 0,22 * (4 * π² / g²).
Для вычисления разности квадратов:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b),
где a = t / 36, b = t / 30.
a - b = t/36 - t/30 = t(5/180 - 6/180) = -t/180.
a + b = t/36 + t/30 = t(5/180 + 6/180) = t/180.
7. Подставим и упростим уравнение:
(-t/180)(t/180) = 0,22 * (4 * π² / g²).
-t^2 / 32400 = 0,22 * (4 * 9,81² / (4 * 9,87)).
-t^2 / 32400 = 0,22 * 19,62 / 39,24.
-t^2 / 32400 = 0,22 * 0,5.
-t^2 / 32400 = 0,11.
t^2 = 0,11 * 32400.
t^2 = 3564.
t = sqrt(3564) ≈ 59,7 с.
8. Теперь можем найти L1 и L2:
Подставляем t в формулы для L1 и L2.
L1 = (t / 30 * g / (2 * π))^2 = (59,7 / 30 * 9,81 / (2 * π))^2.
L1 = (1,989 * 9,81 / (6,28318))^2.
L1 = (3,23)^2 ≈ 10,43 м.
L2 = (t / 36 * g / (2 * π))^2 = (59,7 / 36 * 9,81 / (2 * π))^2.
L2 = (1,658 * 9,81 / (6,28318))^2.
L2 = (2,66)^2 ≈ 7,075 м.
9. Проверим разницу в длине:
L2 - L1 = 10,43 - 7,075 = 0,22 м (22 см).
Ответ:
Длина первого маятника L1 ≈ 10,43 м, длина второго маятника L2 ≈ 7,075 м.