Дано:
- Закон движения груза: х = A * sin(2π / T * t)
- Период T = 2 с
Найти: минимальное время, через которое потенциальная энергия маятника станет половиной своего максимума.
Решение:
1. Потенциальная энергия пружинного маятника определяется по формуле:
E_p = (1/2) * k * x^2
где k — жесткость пружины, x — смещение груза.
2. Максимальная потенциальная энергия возникает, когда x = A, то есть:
E_p_max = (1/2) * k * A^2
3. Для того чтобы найти время, когда потенциальная энергия достигнет половины своего максимума, приравняем потенциальную энергию к половине максимальной:
E_p = (1/2) * E_p_max
(1/2) * k * x^2 = (1/2) * (1/2) * k * A^2
Упростим:
x^2 = (1/2) * A^2
x = A / √2
4. Теперь, зная, что x = A * sin(2π / T * t), подставляем x = A / √2:
A * sin(2π / T * t) = A / √2
5. Упростим уравнение:
sin(2π / T * t) = 1 / √2
6. Значение sin(θ) = 1 / √2 соответствует углу θ = π / 4. Следовательно:
2π / T * t = π / 4
7. Теперь решим для t:
t = T / 8
8. Подставляем значение T = 2 с:
t = 2 / 8 = 0,25 с
Ответ:
Минимальное время, через которое потенциальная энергия маятника станет половиной своего максимума, равно 0,25 с.