Дано:
- А = амплитуда колебаний (в СИ) = A
- T = период колебаний
- x(t) = A * cos(ωt), где ω = 2π/T
Найти: отношение кинетической энергии точки к ее полной энергии в момент времени t = T/6.
Решение:
1. Найдем угловую частоту ω:
ω = 2π / T.
2. Подставим t = T/6 в уравнение для x(t):
x(T/6) = A * cos(ω * (T/6)) = A * cos((2π / T) * (T/6)) = A * cos(π/3) = A * (1/2) = A/2.
3. Найдем скорость v(t). Скорость выражается как производная от положения по времени:
v(t) = dx/dt = -A * ω * sin(ωt).
Подставим t = T/6:
v(T/6) = -A * (2π / T) * sin((2π / T) * (T/6)) = -A * (2π / T) * sin(π/3) = -A * (2π / T) * (√3/2).
4. Теперь можем вычислить кинетическую энергию Ek:
Ek = (1/2) * m * v^2.
Подставим v(T/6):
Ek = (1/2) * m * (-A * (2π / T) * (√3/2))^2
= (1/2) * m * (A^2 * (4π^2 / T^2) * (3/4))
= (1/2) * m * (3A^2 * π^2 / T^2).
5. Полная энергия E определяется как сумма кинетической и потенциальной энергии. Полная энергия также равна максимальной потенциальной энергии в начальный момент времени (когда x = 0):
E = (1/2) * k * A^2 = (1/2) * m * ω^2 * A^2,
где k = m * ω^2.
Подставим значение ω:
E = (1/2) * m * (2π / T)^2 * A^2
= (1/2) * m * (4π^2 / T^2) * A^2.
6. Найдем отношение кинетической энергии к полной энергии:
Ek / E = [(1/2) * m * (3A^2 * π^2 / T^2)] / [(1/2) * m * (4π^2 / T^2) * A^2].
7. Упрощаем:
Ek / E = (3A^2 * π^2 / T^2) / (4π^2 / T^2 * A^2) = 3/4.
Ответ: отношение кинетической энергии точки к полной энергии в момент времени t = T/6 равно 3/4.