Дано:
- Период колебаний T
- Начальная фаза φ = 0
- Максимальная амплитуда колебаний A
- В момент времени t = T/12
Найти:
Отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии в момент времени t = T/12.
Решение:
1. Определим координату x точки в момент времени t = T/12.
Для гармонического колебания с начальной фазой φ = 0 можно записать:
x(t) = A * cos(ωt),
где ω = 2π/T - угловая частота.
Подставим t = T/12:
x(T/12) = A * cos(ω * T/12) = A * cos(2π/12) = A * cos(π/6) = A * (√3/2).
2. Найдем потенциальную энергию E_pot.
Потенциальная энергия в момент времени t определяется как:
E_pot = (1/2) * k * x^2,
где k - жесткость системы.
С учетом, что k = mω^2, подставляем:
E_pot = (1/2) * mω^2 * (A * (√3/2))^2.
Подставляем ω = 2π/T:
E_pot = (1/2) * m * (2π/T)^2 * (A^2 * 3/4) = (3/8) * m * (4π^2/T^2) * A^2 = (3/2) * (mA^2π^2/T^2).
3. Найдем кинетическую энергию E_kin.
Кинетическая энергия в момент времени t равна:
E_kin = E_kin_max - E_pot,
где E_kin_max = (1/2) * m * (Aω)^2 = (1/2) * m * A^2 * (2π/T)^2 = (mA^2 * π^2)/T^2.
Тогда:
E_kin = (mA^2 * π^2)/T^2 - (3/2) * (mA^2π^2/T^2) = (1/2) * (mA^2 * π^2)/T^2.
4. Найдем отношение E_kin/E_pot:
E_kin/E_pot = [(1/2) * (mA^2 * π^2)/T^2] / [(3/2) * (mA^2 * π^2)/T^2] = (1/2) / (3/2) = 1/3.
Ответ:
Отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии в момент времени t = T/12 равно 1/3.