Дано:
- масса ареометра m = 0,2 кг
- период колебаний T = 3,4 с
- радиус трубки r = 5 мм = 0,005 м
Найти:
- плотность жидкости ρ_ж
Решение:
1. Для ареометра, плавающего в жидкости, период колебаний можно выразить через его массу и силы Архимеда.
2. Формула для периода колебаний T выглядит так:
T = 2 * π * sqrt(m / (V * ρ_ж * g)),
где V - объем погруженной части ареометра, g - ускорение свободного падения (g ≈ 9,81 м/с²).
3. Объем V цилиндрической трубки можно выразить как:
V = S * h,
где S - площадь сечения трубки, h - погруженная высота ареометра.
4. Площадь сечения S трубки можно найти по формуле:
S = π * r² = π * (0,005)² = π * 0,000025 = 7,854 * 10^-5 м².
5. При равновесии ареометра силы Архимеда равны весу ареометра, то есть:
ρ_ж * V = m * g.
6. Подставим V:
ρ_ж * (S * h) = m * g.
ρ_ж = (m * g) / (S * h).
7. Из этого уравнения видно, что плотность жидкости ρ_ж зависит от высоты погружения h. Мы можем выразить h через период T, используя формулу для T:
T = 2 * π * sqrt(m / (S * h * ρ_ж * g)).
8. Перепишем это уравнение для h:
h = (m * g) / (ρ_ж * (T / (2 * π))²).
9. Подставим h обратно в уравнение для ρ_ж:
ρ_ж = (m * g) / (S * ((m * g) / (ρ_ж * (T / (2 * π))²))).
10. Упростим уравнение и решим его относительно ρ_ж:
ρ_ж = (m * g * (T / (2 * π))²) / S.
11. Теперь подставим известные значения:
m = 0,2 кг, g = 9,81 м/с², T = 3,4 с, S = 7,854 * 10^-5 м².
12. Расчитаем ρ_ж:
ρ_ж = (0,2 * 9,81 * (3,4 / (2 * 3,14))²) / (7,854 * 10^-5).
13. Сначала найдем (3,4 / (2 * 3,14))²:
(3,4 / 6,28)² ≈ (0,541)² ≈ 0,293.
14. Подставим это значение в уравнение:
ρ_ж = (0,2 * 9,81 * 0,293) / (7,854 * 10^-5).
15. Посчитаем числитель:
0,2 * 9,81 * 0,293 ≈ 0,0576.
16. Теперь делим:
ρ_ж = 0,0576 / (7,854 * 10^-5) ≈ 733,04 кг/м³.
Ответ:
Плотность жидкости составляет примерно 733 кг/м³.