Дано:
массa ареометра m = 50 г = 0.05 кг
площадь сечения S = 10 мм² = 10 * 10^(-6) м²
частота колебаний f = 0.2 Гц
Найти:
плотность жидкости ρ.
Решение:
1. Найдем период колебаний T:
T = 1 / f = 1 / 0.2 = 5 с.
2. Используем формулу для периода колебаний ареометра, погруженного в жидкость:
T = 2π * sqrt(m / F,
где F – сила Архимеда.
3. Сила Архимеда F равна весу вытесненной жидкости:
F = V * ρ * g,
где V – объем вытесненной жидкости, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.
4. Объем V равен S * h, где h – высота погруженной части ареометра. В равновесии:
m * g = V * ρ * g.
Отсюда:
m = V * ρ.
5. Подставим V = S * h в уравнение:
m = S * h * ρ.
6. Из уравнения для периода имеем:
T = 2π * sqrt(m / (S * h * ρ * g)).
7. Подставим h = m / (S * ρ) в уравнение:
T = 2π * sqrt(m / (S * (m / (S * ρ)) * ρ * g)) = 2π * sqrt(m / (m * g / ρ)) = 2π * sqrt(ρ / g).
8. Из этого уравнения выразим плотность ρ:
ρ = (T / (2π))² * g.
9. Подставим известные значения:
g = 9.81 м/с², T = 5 с:
ρ = (5 / (2π))² * 9.81.
10. Рассчитаем:
(5 / (2π))² = (5² / (4 * π²)) = 25 / (4 * π²) ≈ 0.1989.
Теперь подставим это в уравнение:
ρ ≈ 0.1989 * 9.81 ≈ 1.95 кг/м³.
Ответ:
Плотность жидкости ρ ≈ 1.95 кг/м³.