Дано:
- Угол наклона левой плоскости α = 30°
- Угол наклона правой плоскости β = 60°
- Начальная высота h = 20 см = 0,2 м
Найти:
- Период колебаний шарика.
Решение:
1. Рассмотрим систему. Шарик движется по двум наклонным плоскостям, которые образуют двугранный угол. Когда шарик скатывается вниз по плоскости, он подвержен действию силы тяжести и нормальной силы.
2. Определим компоненту силы тяжести, действующую вдоль плоскости для каждого угла наклона:
- Для левой плоскости (угол α):
F1 = m * g * sin(α)
- Для правой плоскости (угол β):
F2 = m * g * sin(β)
Здесь g = 9.81 м/с² — ускорение свободного падения, m — масса шарика (она сократится).
3. Период колебаний T можно найти, используя формулу для периода маятника. Период T можно выразить через длину нити (или длину проекции на плоскость) и ускорение свободного падения:
T = 2 * π * sqrt(L/g_eff)
Где g_eff — эффективное ускорение, действующее на шарик, а L — длина проекции движения.
4. Длина проекции L на плоскость будет определяться высотой h и углом наклона. Мы можем рассчитать L для каждой плоскости. Сначала найдем L для левой плоскости:
L1 = h / sin(α) = 0,2 / sin(30°) = 0,2 / 0,5 = 0,4 м
5. Теперь найдем эффективное ускорение для левой плоскости:
g_eff1 = g * sin(α) = 9,81 * sin(30°) = 9,81 * 0,5 = 4,905 м/с²
6. Теперь подставим значения в формулу для периода:
T1 = 2 * π * sqrt(L1 / g_eff1)
T1 = 2 * π * sqrt(0,4 / 4,905)
7. Рассчитаем T1:
T1 = 2 * π * sqrt(0,0815) ≈ 2 * π * 0,2856 ≈ 1,794 с
8. Теперь рассмотрим правую плоскость. На правой плоскости аналогично находим L и g_eff:
L2 = h / sin(β) = 0,2 / sin(60°) = 0,2 / (sqrt(3)/2) = 0,2 * (2/sqrt(3)) = 0,4/sqrt(3) ≈ 0,2309 м
g_eff2 = g * sin(β) = 9,81 * sin(60°) = 9,81 * (sqrt(3)/2) ≈ 8,487 м/с²
9. Находим период T2 для правой плоскости:
T2 = 2 * π * sqrt(L2 / g_eff2)
T2 = 2 * π * sqrt(0,2309 / 8,487)
10. Рассчитаем T2:
T2 = 2 * π * sqrt(0,0272) ≈ 2 * π * 0,1644 ≈ 1,033 с
11. Теперь можем рассчитать общий период колебаний, если шарик движется вверх и вниз по обеим плоскостям. Период будет средним значением периодов T1 и T2:
T_avg = (T1 + T2) / 2
T_avg = (1,794 + 1,033) / 2 ≈ 1,4135 с
Ответ:
Период колебаний шарика составляет приблизительно 1,41 с.